D、E于AB、AC上，BD=CE，CD交BE于F，G是BC的中点，∠A平分线交FG于H，求证：FG=GH

uk702

如图，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，BD=CE，BE与CD相交于F，G是BC的中点，∠A的角平分线和FG相交于H，求证：FG=GH。

这是一道经典的题目，颇有点难度，如若用复数几何进行处理，求 D、E 两个点的表示法。

uk702

如此这般倒也可行。

不妨设 B = （0， 0），C = （1，0），而 AH 与 BC 相交于 J，且记 BJ = u，0 < u < 1，于是 JC = 1-u。

若 BD/BA = λ，由角平线定理，有 AB/AC = BJ/JC = u/(1-u)，由 BD = CE，算得 CE/CA =  λu/(1-u) 。

下面是代码：

1. ClearAll["Global`*"];
   
2. 
   
3. (* 约定：用小写字母 a 表示点 A 的复坐标，而 a' 表示 a 的共轭复数，其余类同 *)
   
4. (* 不妨设 b = 0, c = 1，AH 交 BC 于 J，记 |BJ| = u *)
   
5. b' = b = 0; c' = c = 1; j' = j = u;
   
6. 
   
7. (* 过 A、B 两点的复斜率定义 *)
   
8. k[a_, b_] := (a - b)/(a' - b');
   
9. k'[a_, b_] := 1/k[a, b];
   
10. 
    
11. (* 点 A 满足 kaj/kab = kac/kaj，假设其商为 v，由此解得 A *)
    
12. sol = Solve[{k[a, j] / k[a, b] == v, k[a, c]/k[a, j] == v}, {a, a'}];
    
13. {a, a'} = {a, a'} /. Last[sol];
    
14. 
    
15. (* 假设 |BD|/|AB|=λ，则 d = λ a *)
    
16. d = λ a; d' = λ a';
    
17. 
    
18. (* 由角平分线定理，知 |AB|/|AC| = |AJ|/|JB| = u/(1-u) *)
    
19. (* 根据已知，|BD|=|CE|，∴ |CE|/|AC| = |BD|/|AC| = |BD|/(|AB|/(u/(1-u))) = λ u / (1-u) *)
    
20. (* 故 c - e = λ u / (1-u) (c - a)，即 e = c - λ u / (1-u) (c - a) *)
    
21. e = c - λ u / (1-u) (c - a); e' = c' - λ u / (1-u) (c' - a');
    
22. 
    
23. (* 复斜率 k1 且 过点 A1 与复斜率 k2 且过点 A2 的直线交点 *)
    
24. Jd'[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((a1 - k1 a1' - (a2 - k2 a2'))/(k1 - k2));
    
25. Jd[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((k2 (a1 - k1 a1') - k1 (a2 - k2 a2'))/(k1 - k2))
    
26. 
    
27. (* G  为 BC 的中点，F 为 CD  与 BE 的交点 *)
    
28. g' = g = (b + c)/2;
    
29. f = Simplify@Jd[k[b, e], b, k[c, d], c]; f' = Jd'[k[b, e], b, k[c, d], c];
    
30. h = Simplify@Jd[k[f, g], f, k[a, j], a]; h' = Jd'[k[f, g], f, k[a, j], a];
    
31. 
    
32. (* 验证 G 是 FH 的中点 *)
    
33. result = Simplify[(f+h)/2];
    
34. 
    
35. Print[{g, result, "G = (F+H)/2 is " (g == result)}]

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输出：
\[
\left\{\frac{1}{2},\frac{1}{2},\text{G = (F+H)/2 is } \text{True}\right\}
\]

天山草

1. Clear["Global`*"]; (*令B点坐标为(0,0),C点坐标为(1,0),AB、AC的复斜率各为u^2和1/v^2*)
   
2. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = b = 0; \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = c = 1; a = (u^2 (v^2 - 1))/( u^2 v^2 - 1);
   
3. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = (v^2 - 1)/(u^2 v^2 - 1); \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\) = g = 1/2;
   
4. (*三角形ABC内心坐标:*) i = (u (v - 1))/(u v - 1); \!\(\*OverscriptBox[\(i\), \(_\)]\) = (v - 1)/(u v - 1);
   
5. d = \[Lambda] a;(*假设|BD|/|BA|=\[Lambda]*)\!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = \[Lambda] \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\);
   
6. e = Simplify[\[Mu] a + (1 - \[Mu]) c];(*假设|CE|/|CA|=\[Mu]*)\!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = Simplify[\[Mu] \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) + (1 - \[Mu]) \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\)];
   
7. Simplify@Solve[{(b - d) (\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)) == (c - e) (\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\))}, {\[Mu]}];
   
8. \[Mu] = (\[Lambda] u (v - 1) (v + 1))/((u^2 - 1) v); (*人工去掉根式后的结果*)
   
9. e = Simplify[\[Mu] a + (1 - \[Mu]) c]; \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = Simplify[\[Mu] \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) + (1 - \[Mu]) \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\)];
   
10. (*过A1点、复斜率等于k1的直线，与过A2点、复斜率等于k2的直线的交点*)
    
11. Jd[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((k2 (a1 - k1 \!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\)) - k1 (a2 - k2 \!\(\*OverscriptBox[\(a2\), \(_\)]\)))/(k1 - k2));
    
12. \!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((a1 - k1 \!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\) - (a2 - k2 \!\(\*OverscriptBox[\(a2\), \(_\)]\)))/(k1 - k2));
    
13. k[a_, b_] := (a - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\));(*复斜率定义*)
    
14. f = Simplify@Jd[k[b, e], b, k[c, d], c]; \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[k[b, e], b, k[c, d], c];
    
15. h = Simplify@Jd[k[a, i], a, k[f, g], g]; \!\(\*OverscriptBox[\(h\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[k[a, i], a, k[f, g], g];
    
16. Simplify[Abs[f - g] == Abs[h - g]](*测试HG=HG是否成立*)

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也可以先设  \(e=μ a+(1-μ) c\)，再由已知条件 \(BD=CE\) 求出 \(μ\) 与  \(λ\) 的关系。这样可利用已知的典型构图和其中的公式，不用人工思考如何去求 \(E\) 点的坐标。

uk702

天山草 发表于 2023-4-1 09:04

赞！这个解法更直接了当些。

denglongshan

denglongshan

若AB=CD，E和F分别是AC和BD的中点，则EF与AC和BD的直线夹角都相等，构图与主贴类似。

天山草

5# 楼的程序运行不稳定，第一次运行时肯定出错。按下面图增加一行（有红色注释的那一行），同时上面那一行也仍保留（按说这一行已经失效了），则运行正确。此时去掉增加的那一行，运行仍正确。关闭程序，重新启动运行，在没有增加行的情况下仍出错。增加这一行之后，保存，重新启动程序，则正确。但是运行程序前把增加行的上面一行删除（按说这一行没有用了，应该可以删掉的），仍会出错。
不知何故？参见 5# 楼后面的点评。

denglongshan

天山草

对 8# 楼程序第一行的公式来源说明如下：

denglongshan

denglongshan 发表于 2023-4-2 21:11

1. Clear["Global`*"]
   
2. (*构图：假设B，D，C是自由点，用向量商关系表示线段相等，由BD与EC相交求出A*)
   
3. 
   
4. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) = b = 0;
   
5. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) = c = 1; e = d v + 1;
   
6. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\) =
   
7. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)/v + c;(*假设e^i\[Angle]BAC=
   
8. \!\(\*OverscriptBox["CE", "\[RightVector]"]\)/
   
9. \!\(\*OverscriptBox["BD", "\[RightVector]"]\)=v*)
   
10. g = (b + c)/2;
    
11. \!\(\*OverscriptBox["g", "_"]\) = (
    
12. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) +
    
13. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\))/2;
    
14. KAB[a_, b_] := (a - b)/(
    
15. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
    
16. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\));
    
17. \!\(\*OverscriptBox["KAB", "_"]\)[a_, b_] := 1/KAB[a, b];(*复斜率定义*)
    
18. 
    
19. \!\(\*OverscriptBox["Jd", "_"]\)[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((a1 - k1
    
20. \!\(\*OverscriptBox["a1", "_"]\) - (a2 - k2
    
21. \!\(\*OverscriptBox["a2", "_"]\)))/(
    
22.    k1 - k2));(*复斜率等于k1,过点A1与复斜率等于k2,过点A2的直线交点*)
    
23. Jd[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((k2 (a1 - k1
    
24. \!\(\*OverscriptBox["a1", "_"]\)) - k1 (a2 - k2
    
25. \!\(\*OverscriptBox["a2", "_"]\)))/(k1 - k2));
    
26. FourPoint[a_, b_, c_, d_] := ((
    
27. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) d - c
    
28. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) (a - b) - (
    
29. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) b - a
    
30. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d))/((a - b) (
    
31. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
    
32. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) - (
    
33. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
    
34. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d));(*过两点A和B、C和D的交点*)
    
35. 
    
36. \!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[a_, b_, c_, d_] := -(((c
    
37. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\) -
    
38. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) d) (
    
39. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
    
40. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) - ( a
    
41. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) -
    
42. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) b) (
    
43. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
    
44. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)))/((a - b) (
    
45. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
    
46. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) - (
    
47. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
    
48. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d)));
    
49. a = FourPoint[b, d, c, e];
    
50. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) =
    
51. \!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[b, d, c, e];
    
52. f = FourPoint[c, d, b, e];
    
53. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\) =
    
54. \!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[c, d, b, e];
    
55. h = Jd[KAB[b, d] v, a, KAB[f, g], g];
    
56. \!\(\*OverscriptBox["h", "_"]\) =
    
57. \!\(\*OverscriptBox["Jd", "_"]\)[KAB[b, d] v, a, KAB[f, g], g];
    
58. Simplify[{a, f, g, h, , h + f == 2 g}]
    
59. Simplify[{
    
60. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\),
    
61. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\),
    
62. \!\(\*OverscriptBox["g", "_"]\),
    
63. \!\(\*OverscriptBox["h", "_"]\), ,
    
64. \!\(\*OverscriptBox["h", "_"]\) +
    
65. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\) == 2
    
66. \!\(\*OverscriptBox["g", "_"]\)}]

复制代码