切比雪夫定理

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切比雪夫定理到底是什么？

切比雪夫定理 （360百科摘抄）
设随机变量X的数学期望和方差都存在，则对任意常数 ε>0，有P( | X - EX | ≥ ε ) ≤ Var( X ) / ε2 ，或P( | X - EX | < ε ) ≥ 1 - Var( X ) / ε2  。在初等数论中，若a1≤a2≤……≤an，b1≤b2≤……≤bn，则a1bn+a2b(n-1)+……+anb1≤(a1+……+an)(b1+……+bn)/n≤a1b1+a2b2+……+anbn 。
基本信息
外文名  chebyshev's theorem
别称    切比雪夫不等式
应用学科  数学
适用领域范围  统计学,数论
提出者  切比雪夫
表达式  见概述

定义
切比雪夫定理 chebyshev's theorem
任意一个数据集中，位于其平均数m个标准差范围内的比例（或部分）总是至少为1-1/㎡，其中m为大于1的任意正数。对于m=2和m=3有如下结果：
所有数据中，至少有3/4（或75%）的数据位于平均数2个标准差范围内。
所有数据中，至少有8/9（或89%）的数据位于平均数3个标准差范围内。

伯特兰—切比雪夫定理(贝特朗猜想）
若整数n > 3，则至少存在一个质数p，符合n < p < 2n -2。另一个稍弱说法是：对于所有大于1的整数n，存在一个质数p，符合n < p < 2n。

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数论中切比雪夫不等式的一点补充
https://www.doc88.com/p-0969367972492.html?r=1
数论中切比雪夫不等式的一点补充（摘抄）
原载  大学数学  2013年12月第29卷第6期
作者  周玲
（扬州大学数学科学学院，江苏  225002）

1        引言
记π（x）为不超过x的素数个数，即素数计算函数，切比雪夫（Chebyshev）是最早研究这个函数的人之一。1852年，切比雪夫证明了π（x）与x/lnx是同阶无穷大。具体的，存在两个正整数c1,c2，使得c1≤1≤c2，且
c1*x/lnx<π(x)<c2*x/lnx    （1）
若对x≥2都成立，则可取c1=1/3*ln2，c2=6*ln2。更精确地，若取
c1=ln(2^(1/2)*3^(1/3)*5^(1/5)*30^(-1/30))≈0.921292022934，c2=6/5c1≈1.10555042752
（它们被称为切比雪夫常数），则存在某个x0，当x≥x0时（1）式成立。Dietrich  Burde指出不少文献在引用此结果时发生错误，上面的切比雪夫不等式并不对所有x≥30都是成立的。而是对所有x≥96098才有
π（x）<c2*x/lnx
成立，对于x=96097是不成立的。       
Erdos(1932)对于较弱的不等式
(ln2)*x/lnx<π(x)<(2ln2)*x/lnx
给出了一个巧妙的证明。
现在已知的关于π（x）的最好不等式是由B.Rosser和L。Schoenfeld获得的，
x/(lnx-1/2) < π（x），x≥67，
x/(lnx-3/2) > π（x），x≥e^(3/2)。
不过上述不等式的证明是基于Lehmer所获得的关于黎曼zeta-函数g（s）的25000个零点的，证明不是初等的。
我们这里得到的结论是：当x>2是，有
(ln2)*x/lnx<π(x)+1
显然这比Erdos的结论要弱，所用方法不同，故只能是算着关于π（x）的不等式的一个补充。证明用到了Wallie不等式，从侧面也反映了Wallis不等式或许还有进一步改进的可能。

2        引理（略）
3        主要结果的证明
定理3.1  当x>2时，有(ln2)*x/lnx<π(x)+1
证  （略）
（以下全略。）

译者注：
本文仅仅证明了“当x>2时，有(ln2)*x/lnx<π(x)+1”；
非但没有证明“0.921292022934*x/lnx<π(x)<1.10555042752*x/lnx”这一不等式，反而说明该不等式只是在x≥96098时才成立！

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A230191
Decimal expansion of log( 2^(1/2)*3^(1/3)*5^(1/5) / 30^(1/30) ).
9, 2, 1, 2, 9, 2, 0, 2, 2, 9, 3, 4, 0, 9, 0, 7, 8, 0, 9, 1, 3, 4, 0, 8, 4, 4, 9, 9, 6, 1, 6, 0, 4, 7, 1, 6, 4, 1, 7, 0, 8, 0, 7, 8, 9, 0, 9, 3, 0, 3, 0, 2, 4, 1, 0, 9, 5, 5, 0, 0, 2, 8, 6, 4, 3, 3, 8, 6, 1, 8, 0, 9, 5, 0, 2, 7, 1, 6, 5, 1, 8, 1, 1, 6, 5, 0, 9, 9, 2, 5, 3, 9, 1, 3, 1, 1, 6, 1, 5, 9, 5, 5, 9, 8, 6

切比雪夫常数
0.921292022934090780913408449961604716417080789093030241095500286433861...

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【转载】谁能在此论坛推广普及伯兰特&#8226;切比雪夫定理的证明过程？
http://www.mathchina.com/bbs/for ... A9%B7%F2&page=1
1楼  马勒隔壁恴  发表于 2012-3-29 13:50
6=3+3 8=3+5
10=3+7=5+5(不存在小于9的奇合数，7一定是素数）
12=3+9=5+7（9不是素数，但还有“5+7”这一对哥解）
14=3+11=5+9=7+7（就算11不是素数，但还有“7+7”这一对哥解）
16=3+13=5+11=7+9（就算13不是素数，但还有“5+11”这一对哥解）
问题来了，如果9、11、13都不是素数，16不就没哥解了吗？
9、11、13不可能都不是素数，如果9、11、13都不是素数，意味着7与14之间一个素数都没有，违反了伯兰特&#8226;切比雪夫定理（n与2n之间必有素数）。
……
谁能在此论坛推广普及伯兰特&#8226;切比雪夫定理的证明过程？
伯兰特&#8226;切比雪夫定理的证明过程我一直看都看不懂，数学符号乱七八糟的。

2楼以下全是任在深与尚九天的辩论贴，对证明主楼的问题无意义。主楼作者也未再发布有用的帖子。

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【转载】请教各位老师，切比雪夫不等式中的a=0.92129是怎么推导出来了的？
http://www.mathchina.com/bbs/for ... 0%B1%C8%D1%A9%B7%F2
1楼  崔坤  发表于 2023-3-10 09:07
请问各位老师：切比雪夫不等式中的常数a=0.92129是怎么推导出来了的？

就是请教下图中用橘色画出来的对数乘积，请教各位老师了！
Screenshot_20230310_091559.jpg (128.83 KB, 下载次数: 0)
数论中切比雪夫不等式的一点补充
（图片不发）