已知平面上一点 P 到正三角形 ΔABC 三顶点的距离为 3,5,7 ，求正三角形 ΔABC 的面积

wintex

請問數學

Nicolas2050

ANS:
正三角形内存在这一点满足要求。

设三角形边长为a，
S△ABC=√3a²/4=(3+5+7)*a/2，a=0（舍去），a=10√3，正三角形边长是10√3。

S△ABC=1/2*a*a*sin60=10√3*10√3**√3/4=300√3/4=75√3

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：





从上面的解答可以看出，到正三角形各顶点距离为 3、5、7 的点 P 只有两种解：

一种解 P 点在正三角形外，另一种解 P 点在正三角形边上。

由此可见，如果要求 P 点完全在正三角形内部，那是不可能的，没有这样的解。

当然，如果不要求 ΔABC 是正三角形，P 点在三角形内部的解，那是很容易得到的。

wintex

luyuanhong 发表于 2023-4-1 18:57
下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

1.請問陸老師，有沒有一種方式判斷到正三角形各顶点距离为 a、b、c的點p不存在於內部
2.若到正三角形各顶点距离为 a、b、c的點p，a,b,c滿足 畢氏定理，p可能能在內，上或外或同時皆存在

天山草

借用陆教授 3# 楼的图，解下面的复数方程，并解答 4# 楼提出的P点为什么不可能在三角形内部的问题。



方程只有两组解，第一个解P点在三角形外，第二个解P点在AB边上。没有P点在三角形内部的第三组解。

天山草

至于楼主的第二个问题，若距离为 3、4、5，则是一组勾股数。此时也是两组解，有一组解P点在三角形内部。

这两组解是：



近似数字解是：

陈九章

陈九章

可以推广到正四面体

wintex

陈九章 发表于 2023-4-2 22:45
可以推广到正四面体

但是不對

王守恩

已知平面上一点到正三角形三顶点的距离为 3,5,7,  求正三角形边长。

\(当四面体体积=0时,可求得正三角形边长\ a=8, a=\sqrt{19}\)

\(\sqrt{\frac{a^2(3^25^2+5^27^2+7^23^2+a^2(3^2+5^2+7^2)-a^4-3^4-5^4-7^4)}{144}}=0\)

附"四面体体积公式"：

\(\sqrt{\frac{aA(b+B+c+C)+bB(a+A+c+C)+cC(a+A+b+B)-(aA(a+A)+bB(b+B)+cC(c+C)+a(bc+BC)+A(bC+Bc))}{144}}\)

把四面体看作一个平放在桌面上的三角形ABC (P是顶点)，6条棱

\(BC=\sqrt{a},CA=\sqrt{b},AB=\sqrt{c},PA=\sqrt{A},PB=\sqrt{B},PC=\sqrt{C}\)