沃尔夫奖得主伊藤清：我是如何开始概率论研究的？

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沃尔夫奖得主伊藤清：我是如何开始概率论研究的？

日本数学家伊藤清教授因在概率论方面的奠基性工作而获得了 1987 年的沃尔夫奖，并于 1998 年获得京都奖，2006 年获得首届高斯奖。

伊藤清的工作集中于概率论，特别是随机分析领域，他被誉为“现代随机分析之父”，因他命名的理论有伊藤引理、伊藤积分、伊藤过程等。他的研究不仅推动了现代数学的发展，还对物理学、经济学、统计学等学科产生了深远影响。

在其思想文集《世界是概率的》一书中，伊藤清回顾了自己早年是如何开始研究数学，尤其是深入研究概率论的。

撰文 | 伊藤清


日本数学家伊藤清（Kiyoshi Ito，1915 年 9 月 7 日 - 2008 年 11 月 10 日），因在概率论方面的奠基性工作被授予 1987 年的沃尔夫奖。

刻骨铭心的话语

那是在我上小学一二年级时候的事情。我的朋友 I 有一个在高等女子中学（相当于现在的初中）读书的姐姐。她的成绩非常优秀，是我崇敬的对象。或许我也曾向她请教过复杂汉字的读法等学习方面的内容吧，不过我一点印象也没有。但她对我说过的一句话，在 55 年后的今天，依然清晰地刻在我的心中。有一次她问我哲学是什么，我自然回答“不晓得”，而后她给我看了字典，说：“哲学是一门研究宇宙的原理与法则的学问。”我不认为当时只有小学一二年级的自己可以读懂这些字，更不要提理解这句话的意思了，但这些都没有妨碍它成为我一生都无法忘却的一句话。进入（旧制）中学之后，虽然我知道了这句话中每个字的写法，但第一次写下这句话，却是在写这篇文章的时候。

当时的中学课程中并没有开设哲学这个科目，可上了高中（旧制八高）后，哲学则成为学生们之间的潮流文化。笛卡尔、康德、叔本华、马克思、唯心论、唯物论、观念论等哲学之谈不绝于耳。文科生中不乏有研读康德《纯粹理性批判》德语原版书的热忱之士。我也难免卷入这哲学的旋涡中，与别人激烈地进行讨论。但坦白讲，哲学青年之间的讨论太过主观和注重精神层面，有些形而上。作为理科生，我感觉这类东西无法真正满足我的内心。我下意识地觉得，I 的姐姐所说的“研究宇宙的原理与法则的学问”，是一种更加客观的哲学，那样的哲学才是我想学习的。

我第一次触碰到类似“研究宇宙的原理、法则的学问”，是我在高中三年级和大学（东京大学理学部数学专业）学习“牛顿力学与微积分的关联”的时候。落体运动、抛体运动、天体运动，全部可以依据牛顿三大运动定律和万有引力定律，通过解微分方程确定下来。我感慨万千，这不就是“研究宇宙的原理与法则的学问”吗？宇宙虽然是包括自然界、人类世界等森罗万象的总称，但直观上的宇宙总是让我们想到繁星闪烁的无穷空间。如果说无数星体的运动都遵从牛顿的微分方程，那微分方程就是 “宇宙的原理与法则”吧。后来，当了解到流体力学、电磁学也可以用偏微方程来描述，我便确信数学就是我在追寻的“研究宇宙的原理、法则的学问”。

然而，当时数学的主流是抽象的纯粹数学，即研究数学概念的逻辑结构。像 18 世纪、19 世纪那样，去研究宇宙的原理与法则的数学，则是数学界的支流。虽然我对纯粹数学也有兴趣，但是总觉得纯粹数学无法带给我牛顿力学曾给予我的那种感动。当时的热力学、统计力学，像理论物理学的其他领域一样，还没有从数学上得到系统性整理。这是因为与这些领域密切相关的数学手段——概率论尚未得到充分发展。我大学毕业时，概率论终于具备了大致的数学形态，我也对这方面的研究产生了浓厚的兴趣。我隐约感觉，这个领域能够实现 I 的姐姐所说的“哲学”。就这样，随机过程论成了我的研究方向。幸运的是，这一理论后来引起了数学家的普遍关注，在 40 年间获得飞跃性发展，而我也在这个过程中享受着研究的乐趣。我大学毕业不久后，就走上了随机微分方程的研究道路，我想这也是 I 的姐姐那句话的指引吧。

数学分为纯粹数学与应用数学。纯粹数学的着力点在于研究数学概念的逻辑结构。应用数学，我认为是为了描述“宇宙的原理、法则”而构建出的数学。在我的研究过程中，我愈发感受到这一点，并觉得应用数学应该称为“数理科学”或者“数理解析学”。

仔细想来，“研究宇宙的原理与法则”这种客观的态度，并不属于哲学家，而属于数理解析学研究者。哲学的考察包括主观、客观，是一种内面性的东西。我高中时期遇到的那些哲学青年，他们的哲学就是这种意义上的哲学。I 的姐姐告诉我的那种“哲学”，与其说是哲学，不如说是“数理解析学”。我从“哲学”“纯粹数学”之间跋涉而来，终于找到了“数理解析学”之路。现在，我在京都大学的数理解析研究所工作，想必这也是 I 的姐姐那句话在我心底生根的结果吧。

与 I 的姐姐的那次对话后，我们就没有再见过面。根据我的年龄来计算，她应该已近古稀之年。最近，我参加了一次中学的同学会，偶然得知她是同学会会长 W 的妻子。时隔 55 年，我们在电话中再次对话，彼此都产生了一种莫名的怀念之情。那个时候，她给我看的辞典是《言海》。我找来当年那一版《言海》，翻看“哲学”词条的释义，结果发现辞典中并没有“研究宇宙的原理与法则的学问”的描述。如此想来，那应该是她用自己的话给出的解释，而我就是跟随那句话的指引，一直在研究的道路上前行，真是令人无限感慨。

数学研究刚刚起步的岁月

1938 年，我从东京大学理学部数学专业毕业。从这一年到我获得名古屋大学助教职位的 1943 年，我居住在东京，就职于大藏省内阁统计局。我的数学研究正是起步于这 5 年。

乍一看杂乱无章的现象中蕴藏着统计法则这一事实，自学生时代就十分吸引我，我有一种模糊的感觉，这类问题要靠概率论这一数学分支来解决。于是，我从大三便开始阅读概率论相关的论文和著作，在此过程中，渐渐掌握了统计法则中的数学本质。只是当时的研究对于随机变量这个基本概念只做了直观说明，并没有给出明确的定义，难免给人一种不足的感觉。

基于严密的定义创建数学体系在现在看来是理所应当的，但这一理念覆盖整个数学领域还是最近的事。即使是微积分学，也是在 19 世纪末严密定义了实数之后，才称得上是一个现代数学体系。我有幸学习了这一体系下的微积分学课程。但是，当时概率论相关的论文和著作，并不是在这样的现代数学的角度下完成的。按微积分学的发展来类比的话，这些论文和著作还停留在 19 世纪。

我在烦恼该如何定义随机变量这一概率论的基础概念时，发现了苏联数学家柯尔莫哥洛夫所著的《概率论基础概念》一书。其实，在大一时我就曾在丸善书店看到过这本书，但当时我对它毫无兴趣。大学毕业后再次与这本书相遇时，我便知道它能满足我的求知欲，于是一口气把它读完了。书中将随机变量定义为概率空间中的函数，通过引入测度论尝试将概率论体系化。站在这个全新的角度后，一直以来朦胧不清的东西就如拨云见日一般明朗起来，由此我也确信概率论确实是现代数学的一个分支。


苏联数学家柯尔莫哥洛夫（Andrey Nikolaevich Kolmogorov ，1903 年 4 月 25 日－1987 年 10 月 20 日），对概率论公理化所作出的贡献巨大。图源：维基百科

打好基础后，接下来便是概率论的内容了。当时大部分的研究将重点放在了统计法则的数学分析上，研究独立随机变量序列的行为。拿微积分学来说，这部分内容就好比级数理论。当然概率论的内容更难，也更丰富，但与当时数学中的其他分支比起来还是略显单薄，让人难以全情投入。

我对概率论的内容真正产生兴趣是在拜读了法国数学家保罗·皮埃尔·莱维（Paul Pierre Lévy）在 1937 年提出的关于独立随机变量之和的理论之后。该理论是向随机过程（概率论中的一个概念，相当于微积分学中的函数）的正式研究迈进的一大步，我从中找到了新概率论真正的本质，决定倾尽全部深入研究。


法国数学家莱维（Paul Lévy ，1886 年 9 月 15 日 - 1971 年 12 月 15 日），是概率论和随机过程理论的开创者之一。图源：维基百科

如同大多数开拓者所做的工作那样，莱维的理论中有很多地方也是凭直觉来叙述的，晦涩难懂。我使用美国数学家杜布（Doob）引入的正则化这个概念，试图将莱维的理论以柯尔莫哥洛夫式的严密的叙述风格来改写。经过诸多尝试，我最终实现了这个目标。这就是我最初发表的论文，现在大家已经习惯用我的方法来叙述莱维的理论了。


美国数学家杜布（Joseph Doob ，1910 年 2 月 27 日 - 2004 年 6 月 7 日）的研究主要包括概率论、复函数、遍历理论和公理势理论等。图源：美国数学学会

莱维的理论虽是针对独立增量过程的研究，但以此为起点，我也开始逐渐研究一般化的马尔可夫过程。在这些研究中，柯尔莫哥洛夫的研究与偏微分方程有很深的关联，这一点着实吸引着我。我想将这个研究，按莱维对独立增量过程的理解，整理成自己可以接受的形式。在思考过程中，我找到了随机微分方程这一方式。这是我后面研究的出发点，也是我现在仍在研究的内容。论文在最初发表时并未受到太多关注，但从十几年前开始，不断有研究者为这个理论的发展做出贡献，现在它已成为概率论中非常重要的部分。

我一直贯彻着按自己的做法解决自己想研究的问题这样的态度，只因自己的性格就是如此，所以没少走弯路，也时常苦于无法很快拿出成果。在摸索的过程中支撑着我的，便是我的恩师弥永昌吉先生。


日本数学家弥永昌吉（Shokichi Iyanaga ，1906 年 4 月 2 日 - 2006 年 6 月 1 日）对培养日本数学界年轻一代有着重要贡献，他对主要学生有菲尔兹奖得主小平邦彦、首届高斯奖得主伊藤清、岩泽理论的岩泽健吉等。图源：维基百科

弥永老师虽致力于数论的研究，但也拥有纵贯数学整体的广阔视野。在研究还未成型的阶段，即使我只将腹案告诉弥永老师，老师也会悉心听取，并给我很好的启发。有时他还会勉励我说：“你有自己想要解决的问题，有自己想创立的体系，这一点非常好。”若是没有这些饱含温情的话语，我恐怕已然受挫。借此机会，我也想向恩师表达最诚挚的谢意。


注：本文摘自《世界是概率的》（【日】伊藤清 著，刘婷婷 译，人民邮电出版社 出版，图灵新知 出品，2023 年 3 月 出版）一书。

本文转载自微信公众号“图灵教育”。