一根吸管上有多少个洞？

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一根吸管上有多少个洞？

作者 | [美]乔丹·艾伦伯格

译者 | 胡小锐 钟毅

来源 | 摘自《几何学的力量》，中信出版社，2023.3

对像我这样的数学专业人士来说，当看到人们被互联网上的一道数学问题难住，一两天都不得其解时，这绝对是一大乐事。我们愿意看到其他人发现并享受我们一生都乐在其中的思维模式。如果你有一座非常漂亮的房子，那你肯定喜欢有人意外来访。

以这种方式出现的问题通常都是好问题，尽管它们一开始看起来可能很无聊。而吸引你注意力的东西是，那种与一个真正的数学问题不期而遇的感觉。

例如，一根吸管上有多少个洞？

我问过的大多数人都认为这个问题的答案显而易见。但是，在得知某些人眼中显而易见的答案与自己的答案不同时，他们都表现得非常惊讶，有时甚至有点儿愤愤不平。这是“You’ve got another think coming”（你错了，再好好想想吧）与“You’ve got another thing coming”（你还有一件事要做）的数学版辨误问题①。

据我所知，“一根吸管上有多少个洞？”的问题最早出现在《澳大利亚哲学杂志》（Australasian Journal of Philosophy）于 1970 年刊登的一篇论文中，斯蒂芬妮·刘易斯和戴维·刘易斯夫妇在这篇文章中讨论的管状物是一个纸巾卷筒。2014 年，这个问题以民意调查的形式再次出现在一个健身论坛上。其争论的腔调与《澳大利亚哲学杂志》不同，但争议的内容是一样的。“0 个洞”、“1 个洞”和“2 个洞”的答案都得到了不少人 的支持。

随后，Snapchat（色拉布，一款“阅后即焚”的照片分享应用）上出现了一段视频：因为 2 个洞和 1 个洞的争论，两名大学生好友变得火冒三丈、怒目相向。这段视频不断传播，最终的浏览量超过 150 万次。吸管问题在 Reddit（红迪网，一家社交新闻网站）和推特上也风靡一时，还登上了《纽约时报》。BuzzFeed（一家新闻聚合网站）的一群年轻、有魅力的员工对这个问题备感困惑，他们为此拍摄了一段视频，也收获了几十万次的点击量。

你可能已经开始思考那几个主要的观点了，让我们把它们罗列出来吧：

0 个洞：把一块长方形的塑料卷起来，然后用胶水将接口处粘住，一根吸管就做好了。长方形塑料上没有洞，当你把它卷起来时，也不会在上面留下任何洞。所以，它仍然没有洞。

1 个洞：这个洞就是吸管的中空部分，从顶端一直延伸到底端。

2 个洞：看一眼就知道了！吸管的顶端有 1 个洞，底端也有 1 个洞。

我的第一个目标是让你相信这些洞确实会让你感到困惑，即使你不这样认为。原因在于，上述三种观点都存在严重的问题。

我先来驳斥“0 个洞”观点的支持者。有些东西即使不被移除任何部分，也可以产生洞。做百吉圈（一种硬面包）时，我们并不是先做比亚利面包卷，然后在中间打洞，而是先把面团揉搓成蛇形，然后将其两端相连，百吉圈就做成了。如果你否认百吉圈上有个洞，那么毋庸置疑，你会遭到纽约、蒙特利尔和世界各地的任何一家正宗熟食店的嘲笑。

关于“2 个洞”的观点呢？这里有一个问题要考虑：如果一根吸管上有 2 个洞，那么其中一个洞的洞底在哪里？另一个洞的洞口又在哪里？如果你不介意，可以想象有人让你数一块瑞士干酪上有多少个洞，你会分别计数干酪顶部的洞和底部的洞吗？

或者，把吸管底端的洞堵住，这样一来，“2 个洞”观点的支持者所说的底端那个洞就消失了。从本质上讲，现在这根吸管变成了一个又高又细的杯子。杯子上有洞吗？是的，你会说它顶部的开口就是一个洞。好吧，如果这个杯子变得越来越短、越来越粗，最终变成一个烟灰缸呢？当然，我们不会把烟灰缸的上缘称作“洞”。但是，如果这个洞是在从杯子到烟灰缸的变化过程中消失的，那么它到底是何时消失的呢？

你可能会说，烟灰缸上仍然有 1 个洞，因为它有一个凹陷处或一个负空间，那里可以容纳物质，但实际上没有任何物质。你坚持认为洞不一定要“贯穿到底”，那你不妨“思考一下，我们说地上有个洞，是什么意思呢？”。这是一个公平合理的反对理由，但我认为，如果我们在什么算作洞的标准问题上过于宽松，而把任何凹陷都当成是洞，就会让这个概念失去有效性。当你说水桶上有个洞时，你指的并不是它的底部有个凹陷处，而是它会漏水。同样地，即使你在比亚利面包卷上咬一口，它也不会变成百吉圈。

至此，还剩下“1 个洞”的观点，它是三个备选项中支持人数最多的一个。现在，让我来告诉你它有什么问题。当我问我的朋友凯利关于吸管的问题时，她直截了当地否定了“1 个洞”的观点：“这是否意味着嘴巴和肛门是同一个洞？”（凯丽是一名瑜伽教练，所以她倾向于从解剖学的角度看问题。）毫无疑问，这是一个公平合理的问题。

但是，我们假设你有足够的勇气接受“嘴巴 = 肛门”这一等式。即便如此，挑战依然存在。下面是那两名大学生在 Snapchat 视频中的一个场景（不过说实在的，你还是自己去看吧，我无法通过文字和舞台指示完美地呈现出他们怒气越来越盛的过程），其中 1 号兄弟支持“1 个洞”的观点，2 号兄弟则支持“2 个洞”的观点。

2 号（拿起一个花瓶）：这上面有多少个洞？1 个洞，对吧？

［1 号默默地同意了。］

2 号（拿起一个纸巾卷筒）：这上面有多少个洞？

1 号：1 个。

2 号：理由呢？（再次拿起那个花瓶）它们看上去一样吗？

1 号：因为如果我在这里（在花瓶底部做了一个手势）打 1 个洞，它还是只有 1 个洞！

2 号（被激怒了）：你刚才说，如果我在这里打 1 个洞。［气得直喘粗气］

1 号：如果我在这里再打 1 个洞，它就有……

2 号：对——再打 1 个洞，加上这个洞，共有 2 个洞！到此为 止吧！

在这个场景中，支持“2 个洞”观点的那位兄弟似乎表达了一个非常合情合理的原则：在某个物体上打一个新洞，洞的数量就应该增加一个。

我们再来看一个更难的题目：一条裤子上有多少个洞？大多数人给出的答案都是 3 个：裤腰上有 1 个洞，裤腿上有 2 个洞。如果你把裤腰缝合起来，就会得到一根由牛仔布做成的特大号吸管，上面还有一个弯儿。如果一开始有 3 个洞，你缝合其中的 1 个，应该还剩下 2 个而不是 1个，对吧？

如果你坚持认为一根吸管上只有 1 个洞，那你也许会说一条裤子上只有 2 个洞。在你缝合裤腰之后，裤子上就只剩下 1 个洞了。这是我经常听到的答案，但这个答案与“一根吸管上有 2 个洞”的观点面临着同样的问题：如果一条裤子上有 2 个洞，它们在哪里？其中一个洞的洞底和另一个洞的洞口又在哪里？

或者，你可能认为一条裤子上只有 1 个洞，因为你所说的洞是指裤子内部的负空间区域。如果我把牛仔裤的膝盖部位撕破，制造出一个新洞，这样做会影响洞的数量吗？你坚持认为不会，裤子上仍然只有 1 个洞，人为地把牛仔裤撕破不过是给那个洞制造了一个新的开口。缝合裤腰或堵住吸管底端，并不会让洞消失，只是封闭了洞的出口或入口。但这又把我们带回到不得不说烟灰缸上有 1 个洞的问题。更糟糕的是，假设我有一个膨胀的气球。根据你的说法，这个气球上有1个洞，即气球内部加压空气占据的区域。如果我拿一根大头针在气球上戳一个洞，气球就会爆炸，只留下一个橡胶圆盘，也许上面还有一个结，但显然没有洞。也就是说，某个东西上本来有 1 个洞，你又在上面戳了 1 个洞后，它反而一个洞也没有了。

你现在感到迷惑不解了吗？我希望如此！

数学无法确切地回答这个问题，因为它不能告诉你“洞”的词义 （这取决于你和你使用的语言）。但它会告诉你有哪些意思是你能够表达的，这样至少可以避免你被自己的假设绊倒。

让我用一个富有哲理的口号开启我们的讨论吧：一根吸管上有 2 个洞，但它们是同一个洞。

通过画得差的图形进行好的推理

我们接下来采用的这种几何学被称为拓扑学，它的特点是我们既不用关心事物到底有多大，也不用关心它们之间的距离有多远，以及它们是否弯曲变形。它似乎会导致两个问题：首先，这可能会极大地偏离本书的主题；其次，这可能会让你怀疑我提出的是一种几何虚无主义，致使大家对任何事物都漠不关心。

事实并非如此！数学有很大一部分作用在于，厘清哪些事物是我 们暂时或者永远都不用关心的。这种选择性注意是人类理性的基本组成部分。过马路时，一辆闯红灯的汽车径直朝你开过来——在你计划下一步的行动时，你可能会考虑各种各样的问题。你能透过挡风玻璃看清楚司机是否丧失了行动能力吗？这是什么车型？万一你被撞倒，四仰八叉地躺在大街上，你今天穿的是干净内衣吗？这些都不是你会考虑的问题——你允许自己不去关心这些问题，而把你的全部意识都投入到估测汽车的行驶路线并尽可能迅速地躲开它的任务当中。

数学问题通常不这么富有戏剧性，但它们会引导我们的抽象思考过程，使我们有意识地忽略与眼前问题无关的所有特征。牛顿之所以能在天体力学上取得成功，是因为他知道天体运动凭借的是适用于宇宙万物的普遍定律，而不是它们自身的突发奇想。为了达成目标，他必须下定决心，不去关注天体的成分与形状，而只关心它们最重要的特征：质量和位置。我们还可以追溯到更早的时候，回到数学的起源。人类发明数的概念是为了利用完全相同的计数与组合规则去处理 7 头牛、7 块石头、7 个人，再进一步，去处理 7 个国家、7 个想法之类的问题。（就这些目的而言，）事物是什么并不重要，重要的是其数量有多少。

拓扑学同样如此，只不过它处理的对象是形状。拓扑学的现代形式 来自法国数学家亨利·庞加莱。没错，又是他！在本书中我们会经常看到这个名字，因为庞加莱广泛地参与了几何学的发展，从狭义相对论到混沌理论再到洗牌理论（是的，有这样一个理论，它也属于几何学）。1854 年，庞加莱出生于法国南锡一个富裕的知识分子家庭，他的父亲是一位医学教授。5 岁时，庞加莱患上了严重的白喉，连续几个月不能说话。尽管他后来完全康复了，但整个童年时期他的身体都很虚弱，甚至成年后也不是很好。一个学生这样描述庞加莱：“我记忆最深刻的是他那双不同 寻常的眼睛，虽然近视却炯炯有神。除此以外，我只记得他身材矮小、弯腰驼背，四肢和关节似乎都有问题。”庞加莱十几岁时，德国人占领了法国的阿尔萨斯和洛林，但南锡仍在法国的统治之下。在普法战争中，法国出人意料的全线溃败成为举国上下的创伤。此后，法国不仅下定决心夺回失去的领土，还开始效仿德国高效的官僚制度和领先的专业技术，正是这两大优势助力德国取得了战争的胜利。就像 20 世纪 50 年代末苏联出其不意地发射人造地球卫星在美国掀起了科学教育的投资狂潮一样，阿尔萨斯和洛林的沦陷也激励法国奋力追赶已拥有成熟科研机构的德国。庞加莱在占领期间学会了德语，成为法国数学界接受现代教育培训的先锋之一。后来，巴黎跻身世界数学中心之列，庞加莱是其核心成员。庞加莱虽然优秀，但他并非神童。二十五六岁时，他完成了人生中的第一项研究。19 世纪 80 年代末，他成为国际知名人物。1889 年，他获得了瑞典国王奥斯卡二世颁发的“三体问题”最佳论文奖。三体问题研究的是三个天体在仅受到彼此间引力作用情况下的运动规律，即使到了 21 世 纪，人们仍然无法完全理解这个问题。但庞加莱在他的获奖论文中提出了动力系统理论，为现代数学家研究三体问题和其他上千个类似问题提供了方法。

庞加莱是一个习惯意识非常强的人。他每天都会花整整 4 个小时从事数学研究——从上午 10 点到中午 12 点，再从下午 5 点到晚上 7 点。他认为直觉和无意识的研究至关重要，但从某种意义上说他的职业生涯有条不紊，与其说常有灵光乍现的闪耀时刻，不如说他在按部就班地扩展认知疆域，一步一步地朝着未知领域进发。他每个工作日做 4 个小时的数学研究，到了节假日就休息。此外，庞加莱的字写得很难看，虽然他可以“左右开弓”。当时，巴黎的数学圈有一句玩笑话：庞加莱的左手和右手写的字一样好。言外之意是，他的两只手写出来的字都很难看。

庞加莱不仅是那个时代最杰出的数学家，也是一位深受大众欢迎的科学和哲学作家。他撰写的关于非欧几何、镭现象和无穷理论的科普图书销量多达几万册，并被翻译成英语、德语、西班牙语、匈牙利语和日语。他是一位技巧纯熟的作家，尤其擅长用巧妙的警句来表达数学思想。以下面这个警句为例，它与本书讨论的问题密切相关。

几何学是一门通过画得差的图形进行好的推理的艺术。

也就是说，如果我准备和你讨论圆，并且需要一个图形做参考，我就会拿出一张纸，在上面画一个圆（见图 2–1）。



如果你有点儿学究气，你可能会抱怨我画的不是一个圆，甚至还会拿起尺子测量，并发现从这个“圆”的圆心到圆上各点的距离并不完全相同。我会告诉你，你说得没错，但如果我们讨论的是圆上有多少个洞的问题，就无所谓了。在这方面，庞加莱是我的榜样，他的作图能力很差，这和他的警句及蹩脚的书法一样有名。他的学生托比亚斯·丹齐克回忆说：“他在黑板上画的圆徒有其名，除了是凸② 的和闭合的，根本不像圆。”

对庞加莱（和我们）来说，图 2–2 中的这些图形都是圆。

就连图 2–3 中的正方形也是圆！③



图 2–4 中这条滑稽的波形曲线还是圆。

但图 2–5 中的图形不是圆，因为它断开了。对圆而言，断开造成的 破坏比挤压、弄弯乃至在它上面扭折出一些拐角更加难以挽回。它的形状彻底改变了，变成了一条画得很差的线段，而不是一个画得很差的圆。它从有 1 个洞的事物变成了没有洞的事物。



“一根吸管上有多少个洞？”的问题很像一个拓扑学问题。Snapchat 视频里的那两个兄弟在讨论这个问题时，要求知道吸管的精确尺寸、它是否笔直、它的横截面是不是欧几里得认可的那种正圆等信息了吗？没有。从某种程度上说，他们明白就当前的争论而言，这些问题是可以放在一边的。

把这些问题放在一边后，还剩下什么问题？庞加莱建议我们拿起这根吸管，把它剪得越来越短。在他看来，吸管还是那根吸管。不过，它很快就会变成一个狭窄的塑料带（见图 2–6）。

你还可以更进一步，使这个塑料带的内壁向外弯，将它压平在书页 上（见图 2–7）。



现在它变成了由两个圆围成的图形，在几何学上被称为“圆环”，但你也可以把它看作一张 7 英寸④单曲唱片或一个 Aerobie（一家制造运动器械的公司）飞环。如果你想象自己身处 16 世纪印度的一场战斗中，而它是对手朝你抛过来的一件外缘异常锋利的武器，它就是轮刃。

不管你叫它什么，它仍然是一幅画得很差的吸管示意图，而且它上面只有 1 个洞。



如果拓扑学坚持让我们说一根吸管上只有 1 个洞，那我们应该说一条裤子上有几个洞呢？就像剪短吸管一样，我们也可以把裤子剪得越来越短。先把它剪成短裤，然后是超短裤，最后是丁字裤。把这条丁字裤压平到你正在读的书页上，你会看到一个双圆环（见图 2–8），它上面显然有 2 个洞。至此，我们得出了结论：一根吸管上有 1 个洞，一条裤子上有 2 个洞。

诺特的裤子

但是，我们的问题还没有完全解决。如果一条裤子上有 2 个洞，它们是哪两个洞呢？根据前文对剪短裤子过程的描述，这两个洞似乎是裤腿，裤腰则变成了洞的外沿。但你在叠衣服时可能会注意到，你还可以用另一种方式把丁字裤压平：让一个裤腿变成外沿，另一个裤腿和裤腰则构成 2 个“洞”。

我女儿没有正式学习过庞加莱的研究成果，但她也认为一条裤子上有 2 个洞，理由是一条裤子其实就是两根吸管。她说，裤腰洞是 2 个裤腿洞的组合。她是对的！理解这个问题的最好方法就是将裤子和吸管进行类比。你要是愿意的话，可以想象自己正在尽力地用一根裤子形状的吸管喝麦芽奶昔。如果你把吸管的一条“裤腿”插到奶昔里，然后开始吸，那么流入这条“裤腿”的奶昔与从“裤腰”流出并进入你口中的奶 昔数量相等。你也可以用另一条“裤腿”喝奶昔，或者把两条“裤腿” 都插到奶昔里。但无论你怎么做，根据奶昔守恒定律，从“裤腰”流出的奶昔量都等于从 2 个“裤腿”流入的奶昔量之和。如果每秒钟有 3 毫升奶昔流入左“裤腿”，有 5 毫升奶昔流入右“裤腿”，就会有 8 毫升奶昔从“裤腰”流出。因此，我女儿的说法是对的：裤腰洞根本不是 1 个新洞，而是 2 个裤腿洞的组合。

那么，这是否意味着 2 个裤腿洞是“真正”的洞呢？事情没那么简单。就在一秒钟之前，当我们叠刚洗好的丁字裤时，它的裤腰和裤腿之间似乎没什么区别。但现在，裤腰似乎又起到了特殊作用。3 + 5 = 8，而 不是 5 + 8 = 3 或 8 + 3 = 5。

由此可见，这是一个需要认真考虑正负号的问题。流出是流入的反过程，所以我们应该用负号来表示它。我们说有 −8 毫升奶昔流入吸管的 “裤腰”，而不说有 8 毫升奶昔从吸管的“裤腰”流出！此时，我们的描述就会呈现出完美的对称性，流过所有三个开口的奶昔量之和为零。我只需要告诉你这三个数字中的两个，就能完整地描绘出奶昔流过吸管的过程。究竟是哪两个数字不重要，任意两个都可以。

现在，我们可以纠正之前说过的谎言了。“吸管顶端的洞和底端的洞是同一个洞”的说法并不准确，但吸管顶端的洞也不是一个全新的洞，它是底端那个洞的“负”洞。奶昔从其中一个洞流入，就必定会从另一个洞流出。

早在庞加莱之前，就有一些数学家（尤其是意大利托斯卡纳的几何学家、政治家恩里科·贝蒂）为给一个形状赋值若干个洞的问题而绞尽脑汁，但庞加莱最早领悟到有些洞可能是其他洞的组合。不过，即使是庞加莱对洞的思考方式也不同于今天的数学家，这种局面一直持续到 20 世纪 20 年代中期。那时，德国数学家艾米·诺特将“同调群” 的概念引入了拓扑学，此后我们一直在使用她给“洞”下的定义。

诺特用“链复形”和“同态”等语言表达她的想法，而不是裤子和奶昔，但我将继续使用这些符号，以免画风突变，令人难以接受。诺特 的创新之处在于，洞不应该被看作分离的物体，它们更像空间中的方向。

在地图上，你可以朝多少个方向移动？从某种意义上说，这个问题的答案是：无穷多个。你可以朝北、南、东或西的方向移动，也可以朝西南或东北偏东的方向移动，还可以朝南偏东 43.28 度的方向移动，等等。关键问题在于，尽管你有无穷多种选择，但你只能在两个维度中移动。只要把东和北这两个方向组合起来，你就可以到达任何你想去的地方（前提是你愿意把朝西走 10 英里⑤表达为朝东走 -10 英里）。

如果你问“哪两个方向是可以派生出其他所有方向的基本方向？”， 那么我会告诉你这个问题毫无意义，因为任意选择两个方向都能达到同样的效果。你可以选择北和东，你也可以选择南和西，你还可以选择西北和东北偏北，诸如此类。唯一需要注意的是，你不能选择两个相同或正好相反的方向，否则你就只能在地图上画出一条直线。你可以试试看。

一根吸管的顶端和底端就是这样：两者的方向恰好相反，一个朝北， 一个朝南，只有一个维度。相比之下，一条裤子的裤腰和两条裤腿则分布在两个维度上，如图 2–9 所示。



先沿着其中一个方向走 1 英里，再沿着第二个方向走 1 英里，最后沿着第三个方向走 1 英里，你就会回到起点（见图 2–10）



三个方向相互抵消，组合起来变成零。

保罗·亚历山德洛夫和海因茨·霍普夫在他们 1935 年出版的基础拓 扑学教科书中写道：“如今，它被视为不言而喻的真理，但 8 年前并非如此。正是艾米·诺特的精力和个性使它成为拓扑学家眼中的常识，并开始在拓扑学的问题和方法中发挥作用，直到今天。”

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莫比乌斯带和三体问题

庞加莱创建了现代拓扑学，但他没有称之为“拓扑学”，而是给它 取了一个拗口的名字——“位相分析学”。幸运的是，这种叫法没有流行开来！实际上，早在 60 年前，约翰·贝尼迪克特·利斯廷就创造了“拓 扑学”一词。利斯廷是一位科研多面手：他发明了“微米”一词，用来指百万分之一米；他在视觉生理学领域取得了重大进展；他涉猎过地质学；他还研究过糖尿病患者尿液的糖含量。他周游世界，用他的博士生导师卡尔·弗里德里希·高斯发明的磁强计测量地球磁场。他喜好交际，人缘不错，但也常因此入不敷出。物理学家恩斯特·布莱滕伯格评价利斯廷是“为 19 世纪的科学史增光添彩的众多普遍主义者中的一员”。

1834 年夏，利斯廷陪同他富有的朋友沃尔夫冈·瓦尔特斯豪森，踏上了前往西西里岛埃特纳火山的调查之旅。当火山处于休眠状态时，他利用休息时间思考形状及其特性，并将这门学问命名为拓扑学。他的方法不像庞加莱或诺特的方法那么系统化。与在科学领域和生活中一样，在拓扑学研究方面，他就像一只喜鹊，完全被兴趣牵着鼻子走。他画了很多结（knot）的图形，并且先于奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯画出了莫比乌斯带。（但没有证据表明利斯廷像莫比乌斯一样知道它那奇特的性质：只有一个面。）

晚年，利斯廷精心创作了《空间聚合图形大全》（Census of Spatial Aggregates）一书，将他能想到的所有形状都收录其中。他就是几何学领域的奥杜邦⑥，为大自然丰富的多样性编制目录。



我们有什么理由去超越利斯廷编制的目录吗？“一根吸管上有多少个洞？”是一个有趣的问题，但相较于“一个针头上可以同时站立多少 位天使？”的问题，是什么让前者变得更重要？

你可以从庞加莱的著作《位相分析》严肃的开头语中找到答案：

现在，没人怀疑 n 维空间几何图形的真实性。

吸管和裤子很容易具象化，我们不需要用数学形式主义去区分它们。而高维空间中的形状则是另外一回事，我们内在的眼睛无法瞥见它们。我们想要的不只是匆匆的一瞥，而是长久的凝视。正如我们将要看到的那样，在机器学习几何学中，我们会搜索数百或数千个维度的空间，在那片无法想象的景观中尝试寻找最高峰。即使在 19 世纪庞加莱研究三体问题时，也需要追踪天体的位置和运动，这意味着就每个天体而言，他必须记录 3 个位置坐标和 3 个速度坐标⑦，共计 6 个维度。如果他想同时追踪 3 个天体的位置和运动，因为每个天体都需要记录 6 个维度的坐标，加起来就是 18 个维度。纸上的图形不能帮助你理解十八维空间中的“一根吸管上有多少个洞？”的问题，更不要说区分这个空间中的吸管和裤子了。我们需要一种更正式的新语言，它必须与我们固有的洞的概念脱钩。这是几何学的工作原理：从我们对物理世界中各种形状的直觉开始（难道还有其他出发点？），严密地分析我们对这些形状的外观和运动方式的感知。它是如此精确，以至于我们无须依赖直觉就能谈论那些形状。当我们从住惯了的三维空间浅水区站起身时，我们就必须这样做。

我们已经弄清楚这个过程的开头部分了。你还记得吧，在刚开始讨论时，我们举了一个令人头疼的例子——膨胀的气球。它没有洞，你用大头针在上面戳了 1 个洞，一声巨响后它变成了一个橡胶圆盘。显然，它现在也没有洞。但我们刚才不是给它制造了 1 个洞吗？

有一种方法可以解开这个显而易见的悖论。如果你在气球上戳了 1 个洞，而它现在没有洞，那么一开始它必定有 -1 个洞。

我们处于决策的节点上：面对两种十分诱人的观点，我们需要舍弃其中一种。第一种观点认为，在一个东西上打 1 个洞会使洞的数量增 加 1 个；第二种观点认为，洞的数量可以为负数。数学的历史就是由一个又一个痛苦的决策组成的漫长故事。这两种观点都符合我们的直觉，但仔细思考后我们发现它们在逻辑上是不相容的，所以必须舍弃其中一种。

关于气球、吸管或裤子上有多少个洞的问题，并不存在抽象的永恒真理。当来到数学展现在我们面前的一个分岔路口时，我们必须选择一个定义。我们不应该认为其中一条路是真的，另一条路是假的，而应该认为一条路更好，另一条路更差。在众多案例中，被证明更具解释性和启发性的才是更好的案例。经过几个世纪的研究，数学家发现，总的来说，让人感觉“怪诞”的观点（比如，洞的数量为负数）是更好的选择，而非违背一般原则的观点（比如，在某个东西上打 1 个洞，洞的数量应该增加 1 个）。因此，我要表明我的态度：“气球未爆炸时有 -1 个洞”的说法更佳。事实上，有一种测量空间的方法叫作“欧拉示性数”，它是一个拓扑不变量，不受任何连续形变的影响。你可以把它看作 1 减去洞的数量的结果。

裤子：欧拉示性数为 -1 ，有 2 个洞。

吸管：欧拉示性数为 0 ，有 1 个洞。

爆炸后的气球：欧拉示性数为 1 ，有 0 个洞。

未爆炸的气球：欧拉示性数为 2，有 -1 个洞。

如果你想让欧拉示性数看上去不那么怪诞，那你可以换种方式描述它：偶数维洞数和奇数维洞数的差值。未爆炸的气球是一个球体，它确实有 1 个 洞，跟瑞士干酪上的洞一样，气球内部本身就是一个洞。但人们会觉得这个洞不同于吸管上的洞。确实如此！我们把它称作二维洞。气球有 1 个二维洞，没有一维洞，它的欧拉示性数似乎应该是 1 - 1 = 0 。这和上文给出的结果不一致，原因在于我们遗漏了一个信息，那就是气球还有 1 个零维洞。

这是什么意思呢？

此时该轮到庞加莱和诺特的理论登场了。顾名思义，第一个系统研究欧拉示性数的人是瑞士数学全才莱昂哈德·欧拉，但仅限于二维平面。之后，包括约翰·利斯廷在内的许多人，努力地将欧拉示性数的概念扩展至三维曲面。直到庞加莱时代，人们才开始懂得如何将欧拉示性数引入三维空间之外的维度。我并不是要将代数拓扑学的第一课压缩到一页纸上，而是要告诉大家：庞加莱和诺特为我们提供了关于任意维洞的一般理论。在他们构建的体系中，空间中零维洞的数量就是它破碎后的块（piece）数。像吸管一样，气球是一个“单连通块”（simply connected piece），所以一个气球只有 1 个零维洞，而两个气球有 2 个零维洞。

这似乎是一个怪诞的定义，但它可以自圆其说：

气球的欧拉示性数 = 1 个零维洞 + 1 个二维洞 - 0 个一维洞 = 2

大写字母 B 有 1 个零维洞和 2 个一维洞，所以它的欧拉示性数为 -1 。

把 B 下半部分的那个环剪开，它会变成字母 R 。R 的欧拉示性数为 0 ，因为它少了 1 个一维洞，所以欧拉示性数变大了。把 R 上半部分的那个环剪开，你会得到字母 K ，K 的欧拉示性数为 1 。你也可以用剪刀剪下 R 的 “小腿”，得到字母 P 和字母 I 。它们是两个独立的块，所以零维洞的数量是 2 ，P 上还有 1 个一维洞，所以它的欧拉示性数为 2 - 1 = 1 。每剪一次， 欧拉示性数就会增加 1，即使你剪开的不再是一维洞，这种趋势也会持续下去。字母 I 的欧拉示性数为 1 ，把它剪断会得到两个 I ，欧拉示性数为 2 ；再剪一刀，欧拉示性数变成 3 ，以此类推。

如果你把裤子的两个裤腿以裤脚对裤脚的方式缝合起来，会怎么样？在我们所在的空间里，这个问题很难解释清楚。但在庞加莱的系统中，最终产生的形状有 1 个零维洞和 2 个一维洞，它的欧拉示性数为 -1 。换句话说，改后裤子上的洞数和原来一样。当你把 2 个裤脚缝合到一起 时，你消除了 1 个洞，但同时又制造了 1 个新洞，它是由两个相连的裤 腿围绕形成的。这种解释有说服力吗？我很希望在 Snapchat 上看到相关 的争论。

注释：

① 正确的表达当然是“think”。

② 在这里，“凸”（convex）是一个专业术语，大概的意思是“只朝外弯曲，而绝不朝内弯曲”。在本书第 14 章讨论立法选区的形状时，我们还会用到这个词。

③ 确切地说，如果我们关注的是曲线的拓扑学问题，例如有多少个洞、有多少个部分等， 那么正方形也是圆。如果我们关注的是“该曲线在某一点处有多少条切线”之类的问题，那么正方形与圆截然不同。

④ 1 英寸 ≈ 2.54 厘米。——编者注

⑤ 1 英里 ≈ 1.61 千米。——编者注

⑥ 约翰·詹姆斯·奥杜邦是美国著名画家、博物学家，他绘制的鸟类图鉴被视为“美国国 宝”。——译者注

⑦ 对物理学家来说，速度不仅意味着速率（一个数字），还意味着运动方向。所以，你需要追踪并记录朝上、朝北和朝东的运动速度，共计 3 个数字。



《几何学的力量》

作者：[美]乔丹·艾伦伯格

出版社：中信出版社

出版时间：2023-03

乔丹·艾伦伯格 好玩的数学 2023-04-11 08:50 发表于江西