E在半径1的⊙O直径MN上，OE=x，ME是⊙A直径，EF⊥MN，⊙C与EF,⊙A,⊙O相切，求⊙C半径

天山草

在圆 O 的直径 MN 上任取一点 E，分别以 ME、EN 为直径作圆 A 和圆 B，作 EF⊥MN，
作圆 C 和圆 D 使之分别与 EF、圆 A、圆 O、圆 B 相切。
如果圆 O 的半径为 1，\(OE=x\)，证明： 圆 C 和圆 D 的半径都等于 \(\frac{1}{4}(1-x)^2\)。

天山草

这道题，因为不会作图，所以很难用复平面解析方法作。但是用笛卡尔的分析法做还是可以的。
先对左半圆证明如下：

再对右半圆证明，因为事先并不知道两圆半径相等，因此设右半圆的半径为 \(r\)。证明与上面类似：

天山草

上面的作法繁琐了。下面介绍数学娱乐网站 kuing 站长的简单方法：


由上面的结论知,  对于圆 C 有 \(\frac{1}{R}=\frac{1}{AE}+\frac{1}{BN}\)，即 \(\frac{1}{R}=\frac{2}{1-x}+\frac{2}{1+x}\)，解此方程即得
\(R=\frac{1}{4}(1-x^2)\)。同样对于圆 D 有\(\frac{1}{r}=\frac{1}{AE}+\frac{1}{BN}\)，即 \(\frac{1}{r}=\frac{2}{1-x}+\frac{2}{1+x}\)，解此方程即得 \(r=\frac{1}{4}(1-x^2)\)。

波斯猫猫

题：在圆 O 的直径 MN 上任取一点 E，分别以 ME、EN 为直径作圆 A 和圆 B，作 EF⊥MN，
作圆 C 和圆 D 使之分别与 EF、圆 A、圆 O、圆 B 相切。如果圆 O 的半径为 1，OE=a，
证明： 圆 C 和圆 D 的半径都等于 (1-a^2)/4 。

思路(用坐标法较快捷)：主贴图，以MN和EF所在直线分别为x轴和y轴建立坐标系，则

圆 A的心为(a/2-1/2，0)，半径为1/2-a/2；圆 O的心为(a，0)，半径为1。

设圆 C的心为(-m，n)，则半径为m，由内外切关系分别有：

(m+a)^2+n^2=(1-m)^2，(-m-a/2+1/2)^2+n^2=(m-a/2+1/2)^2，

消去n并整理得，圆 C的半径m=(1-a^2)/4。

类似地，可算得圆 D 的半径也等于 (1-a^2)/4  (过程略) 。

波斯猫猫

有的问题不宜多想。

luyuanhong

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