每一回合胜的概率为 p，先得 11 分为赢，但 10：10 后连得 2 分才赢，求最后赢的概率

王守恩

转载:  乒乓球比赛，一名球员赢下每一球概率是3/5，
那么他拿下这一局(11分制)的概率是多少？要考虑每局至少赢两分的情况。

lihp2020

要考虑每局至少赢两分的情况  意思 我不能打别个 11:0？？

王守恩

lihp2020 发表于 2023-5-5 10:16
要考虑每局至少赢两分的情况  意思 我不能打别个 11:0？？

题目就是正常的乒乓球比赛，当双方打成10：10时，需要连得2分才算赢的意思。

王守恩

10:10以前我说不好，10:10以后可以这样想。

借用《每次投篮命中率为 2/3, 连续三次投中则通过, 连续两次投不中则不通过, 求通过的概率》
谢谢 ccmmjj ！

10:10以后连得2分, 可以有至多连续1次失分,  3种可能:
  1=A*A
  2=B
  3=A*B
P=1+2+3=63/95
其中：A=3/5  
          B=\(\big(\frac{1}{1-A}+\frac{1}{A^n}\big)^{-1}=18/95\)
   发挥一下: 连得n分, 可以有至多连续n-1次失分, 是这样一串数
{6/25, 18/95, 54/385, 162/1655, 486/7465, 1458/34895, 4374/167185, 13122/814055, 39366/4004665,  

借用《每次投篮命中率为 2/3, 连续三次投中则通过, 连续两次投不中则不通过, 求通过的概率》
谢谢 ccmmjj ！

cgl_74

有一种解法：按净胜球数进行分类。
1、净胜球分别为11（11:0），10（11:1），9（11:2）……3（11:8）。这是有限次的比赛结果，可以直接算出来。
2、还有一种是净胜球为2，包括了9:9平后连赢2球，10:10平后连赢2球，N:N平后连赢2球等情况，这个概率也可算出。
上面各种概率加和，即为总的赢球概率。

王守恩

存在就是真理！！！大家想想：为什么可以这样？！！！

\(\displaystyle\sum_{k=0}^9\frac{(k+10)!}{k!\ \ 10!}\bigg(\frac{2}{5}\bigg)^k\bigg(\frac{3}{5}\bigg)^{11}+\sum_{j=10}^{\infty}\frac{(10+10)!}{10!\ \ 10!}\bigg(\frac{2}{5}\bigg)^j\bigg(\frac{3}{5}\bigg)^{j+2}2^{j-10}\)

\(=0.755337203316393246720000000000+0.081097996525193134080000000000\)

\(=0.83643519984158638080000000000000000000000000000000\)

王守恩

都什么年代了！跟着计算机屁颠屁颠，就是看能不能走出一条路来。
当然，这算式可以化简，这数码可以更换，......题目是永远做不完的。

cgl_74

一个解法：与投球那个解法思路类似，可以说是通用解法。
在赌球赔率设计时是比较有用的。
真实比赛中，对总球数是有限制的。比如羽毛球比赛，30分封顶，谁先到30分谁赢，不会让比赛无限制进行下去。
这里还是按理想模型来：

王守恩

存在就是真理！！！大家想想：为什么可以这样？！！！
\(\displaystyle\sum_{k=0}^9\frac{(k+10)!}{k!\ \ 10!}\bigg(\frac{2}{5}\bigg)^k\bigg(\frac{3}{5}\bigg)^{11}+\sum_{j=10}^{\infty}\frac{(10+10)!}{10!\ \ 10!}\bigg(\frac{2}{5}\bigg)^j\bigg(\frac{3}{5}\bigg)^{j+2}2^{j-10}\)
\(=\frac{72034569102897}{95367431640625}+\frac{7734107639808}{95367431640625}=\frac{15953735348541}{19073486328125}\)

前半部分还真不知道怎么化简(虽然只有10项),后半部分肯定是可以化简的(因为有无穷项),
\(\displaystyle\bigg(\sum_{k=0}^9\frac{(k+10)!}{k!\ \ 10!}(\frac{2}{5})^k\bigg)*\bigg(\frac{3}{5}\bigg)^{11}+\frac{(10+10)!}{10!\ \ 10!}*\frac{(3/5)^2(3/5)^{10}(2/5)^{10}}{(3/5)^2+(2/5)^2}\)

如果把10换作1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,   可以得到这样一串数：

{9/13, 1161/1625, 29889/40625, 153333/203125, 19602081/25390625, 99969957/126953125,978304149/1220703125, 24845595021/30517578125, 126001649601/152587890625, 15953735348541/19073486328125}

luyuanhong

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