【资料】三角形ABC,DEF的重心互相吻合，求出两个三角形的面积之比

dodonaomikiki

请看题目

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\begin{align*}
Set：
A(x1,   y1)\\
B(x2,  y2)\\
C(x3,y3)\\
\Longrightarrow   AB's   \qquad              mid-point:    G(   \frac{ x1+x2   }{2},   \frac{   y1+y2}{2}      )\\
BC's  \qquad            mid-point:    H(   \frac{ x2+x3   }{2},   \frac{   y2+y3}{2}      )\\
AC's  \qquad            mid-point:    G(   \frac{ x3+x1   }{2},   \frac{   y3+y1}{2}      )\\
\end{align*}




自然的
\begin{align*}
K_{OG} =  K_{OC}                \Longrightarrow      \frac{y1+y2   }{   x1+x2  }&=\frac{    y3   }{    x3  }\\
K_{OH} =  K_{OA}              \Longrightarrow  \frac{ y2+y3   }{   x2+x3   }&=\frac{  y1     }{   x1   }\\
K_{OI} =  K_{OB}              \Longrightarrow  \frac{  y3+y1 }{  x3+x1    }&=\frac{   y2    }{   x2   }\\
\Longrightarrow \\
x1y3-x3y1&=x3y2-x2y3=x2y1-x1y2\\
\end{align*}

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上面认为是1部

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2部



The   tangent  line  through  point  A
\(            \frac{    x1x}{     a^2}+\frac{    y1y}{    b^2}  =1           \)
\(            \frac{    x2x}{     a^2}+\frac{    y2y}{    b^2}  =1           \)
\(            \frac{    x3x}{     a^2}+\frac{    y3y}{    b^2}  =1           \)

第一拭+第二式
计算很简单，容易推出：
\(            x=\frac{   a^2(y1-y2)               }{     x2y1-x1y2}           \)
\(            y=\frac{   b^2(x1-x2)               }{     x1y2-x2y1}           \)

第二拭+第三式
\(            x=\frac{   a^2(y3-y2)               }{     y3x2-y2x3}           \)
\(            y=\frac{   b^2(x2-x3)               }{     x2y3-x3y2}           \)


第一拭+第三式
\(            x=\frac{   a^2(y3-y1)               }{    y3x1-y1x3}           \)
\(            y=\frac{   b^2(x3-x1)               }{     x3y1-x1y3}           \)




横坐标相加\(    / a^2        \)
\(            \frac{  y1-y2}{x2y1-x1y2}  +  \frac{  y3-y2}{y3x2-y2x3}   + \frac{  y3-y1}{y3x1-y1x3} =0           \)
纵坐标相加\(    /b^2        \)
\(            \frac{  x1-x2}{x1y2- x2y1   }  +  \frac{  x2-x3}{x2y3-x3y2  }   + \frac{  x3-x1}{x3y1  -x1y3  } =0           \)

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三部
\begin{cases}               \frac{       x_2^2          }{        a^2  }+\frac{       y_2^2               }{  b^2        } =1  \\                     \frac{       x_3^2          }{        a^2  }+\frac{       y_3^2               }{  b^2        }              =1        \end{cases}   

\(       \Longrightarrow                                      \)
\begin{cases}   \frac{      y3-y2}{x3-x2}  =-\frac{  b ^2  }{ a ^2 }  \bullet  \frac{x1}{y1}   \\     \frac{   y1-   y3}{  x1-x3}  =-\frac{  b ^2  }{ a ^2 }  \bullet  \frac{x2}{y2}                            \end{cases}


\begin{align*}
\Longrightarrow   \\
K_{OD}&=\frac{   (x1-x2)b^2              }  {   x1y2-x2y1            }    \bullet   \frac{   x2y1-x1y2            }{  a^2 (  y1-y2)            }\\
&=  -\frac{  b ^2  }{ a ^2 }    \bullet    \frac{    x1-x2  }{   y1-y2} \\
&=\frac{y3}{x3}\\
&=K_{OC}\\
\end{align*}



\begin{align*}
Likewise\\
\Longrightarrow      K_{OA}&=K_{OE}\\


\Longrightarrow   K_{OB}&=K_{OF}\\




\Longrightarrow   &AOE,BOF,  COD皆为三点共线\\
\end{align*}

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可见，
外围三角形的边长= 内围三角形 的两倍
\(  \Longrightarrow  \frac{ S\blacktriangle  DEF              }{   S\blacktriangle    ABC           }=4  \)

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6楼=四部

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亲自计算，
应该大错不错！



但是数学语言组织水平，有限:Q
特别爱好数学，
特别喜欢玩耍数学的同志，
可以进一步润饰！



进一步"装修"，
使得数学语言表达更加流畅

dodonaomikiki

另外备注：
所用草图，
皆为示意图，
都不够精确，会意一哈就算啦