论循环小数 0.99…＝1 及 0.99… 的实际意义

宁安居士

循环小数0.99…＝1及0.99…的实际意义
宁安居士
最近发现很多视频段子都在证明0.99…＝0.33…×3＝1/3×3＝1，我此前一直认为等式中0.33…×3＝1/3×3＝1是合理的，但第一步0.99…＝0.33…×3却存在着漏洞，因为它忽略了3个“余差”的存在。但经过论证发现，我前边的观点是错误地把0.99…理解成了0.99……，前者是循环小数，后者则是有效数字为n个9的任意有限小数。循环小数0.99…的实际意义是1的拆分变形，即0.99…＝1，而“余差”是包含在循环小数本身之内的。

追根溯源，循环小数是除分时因求商除不尽而出现的无限小数，换句话说，循环小数本身是用来表示商的同时，在商以外永远都存在一个“余差”。例如，1/9＝1÷9＝1.0÷9＝0.1余0.1＝0.11余0.01＝0.111余0.001＝……无论以9除到被除数小数点后的第几位，“余差”都是10的相应小数位数次方分之一（除到小数点后第10位，“余差”就是10的10次方分之1，即0.0000000001；除到小数点后第100位，“余差”就是10的100次方分之1。）；再如，2/9＝2÷9＝2.0÷9＝0.2余0.2＝0.22余0.02＝0.222余0.002＝……无论以9除到被除数小数点后的第几位，“余差”都是10的相应小数位数次方分之二；又如，3/9＝3÷9＝3.0÷9＝0.3余0.3＝0.33余0.03＝0.333余0.003＝……无论以9除到被除数小数点后的第几位，“余差”都是10的相应小数位数次方分之三。以此类推，每个循环小数的出现，都会同时伴生一个无限存在的“余差”。
当我们用“＝”来表示“一个循环小数等于某个分式或除式”的时候，其实这个循环小数在表商的同时，也将“余差”包含在内并省略掉了。按照这个逻辑，我们如果先假设循环小数0.99…存在并有意义，那么它将同时满足两个条件：第一，可以在除分求商的情况下出现；第二，以9除某数时，得到商0.99……（设9循环至小数点后第n位，n趋近于无穷大）的同时，存在一个余差为“10的n次方分之9（n→∞）”。
接下来我们证明一下假设是否成立。
因为3/9=0.33…，即：
  3/9
＝3÷9
＝（2.7+0.3）÷9
＝（2.7+0.3）×1/9
＝2.7×1/9+0.3×1/9
＝2.7/9+0.3/9
＝0.3+0.3/9
＝0.33+0.03/9
＝0.333+0.003/9
＝……
＝0.33…（含 “余差”10的n次方分之3，n→∞）
根据上面算式可知：
　0.33…×3
＝（0.3+0.3/9）×3
＝0.3×3+0.3/9×3
＝0.9+0.3×3/9
＝0.9+0.9/9＝0.9+0.1＝1
＝0.99+0.09/9＝0.99+0.01＝1
＝0.999+0.009/9＝0.999+0.001＝1
＝……
＝0.99…（含“余差”10的n次方分之9，n→∞）
接下来我们再证明一下1＝9/9＝0.99…：
　1
＝9/9
＝（8.1+0.9）÷9
＝8.1÷9+0.9÷9
＝0.9+0.9/9＝0.9+0.1＝1
＝0.99+0.09/9＝0.99+0.01＝1
＝0.999+0.009/9＝0.999+0.001＝1
＝……
＝0.99…（含“余差”10的n次方分之9，n→∞）
综上所述，0.99…既可以在除分求商的情况下出现，也可以在以9除某数时，得到商0.99……（设9循环至小数点后第n位， n→∞）的同时，存在一个余差为“10的n次方分之9（n→∞）”。所以，0.99…＝1，即循环小数0.99…存在并有意义。
之所以存在一些争议，其实就是因为有人把0.99…理解成了0.99……

elim

有楼主这么说话的，都是四则运算缺除法的。这个行列里还有李利浩，此人很长时间没来了。还有一泡臭狗屎的范副.

jzkyllcjl

elim 发表于 2023-5-12 04:06
有楼主这么说话的，都是四则运算缺除法的。这个行列里还有李利浩，此人很长时间没来了。还有一泡臭狗屎的范 ...

2.1.3，定义在自然数集合上的函数的应用问题
例一，根据1被3除永远除不尽的事实，人们只能随着这个除法运算过程，依次得到无穷数列0.3,0.33,0.333,……，这个数列就是定义在自然数集合上的无穷数列  ，这个无穷数列 具有永远写不到底性质，这个数列中的中的数依次是分数1/3 的准确到1/10^n 的不足近似值，这个数列中的十进小数，永远达不到分数 1/3，这个数列的趋向性极限才是分数1/3  。但文献[3]87页提出了：，“称无尽小数为实数”的实数定义； 80页例3证明[了“无尽循环小数等于分数”具有概念混淆的错误。事实上，这个证明过程可以说是：他的第一步是把这个变数性质无穷数列记作无尽循环小数 0.333……并把它看做定数，然后在令λ=0.333…… 后，两端乘10，得到：10λ=3+λ， 但认真分析起来,,这个等式右端的λ比左端的λ表示的无尽小数少一个3，所以明出来 的 λ=0.3333……=1/3等式不成立，他的证明过程存在着0.333……是变数（即无穷数列是变数）或定数的无法解决的矛盾。他们对待无尽即对待无穷的这种观点违背了“无穷是无有穷尽、无有终了的事实”；

elim

jzkyllcjl 四则运算缺除法，90多岁了还初小差班老生，没有希望了。

宁安居士

你们忽略了我的论述中一个重要的观点：那就是循环小数本身隐藏了一个“余差”，这个余差是不能忽略的存在。否则1/3只能约等于0.33…，且1/3＞0.33…，这样一来，0.99…也不能等于1，而是小于1了。如果把隐含的“余差”算在循环小数本身之内，那么一切问题将不存在，1＝0.99…也完全成立，因为1就是以9除1得到商0.9的同时还余下0.9不除，以此往复下去而形成的循环。以上说法如果再不理解，那就各自坚持自己的观点好了。
我的观点是从生活数学出发来解答循环小数，而高等数学如何来解答，那就是各位的事了。但记住一点，证明的时候一定把“余差”带上。

宁安居士

jzkyllcjl 发表于 2023-5-13 08:49
2.1.3，定义在自然数集合上的函数的应用问题
例一，根据1被3除永远除不尽的事实，人们只能随着这个除法 ...

把我说的0.33…所包含的“余差”带进去再试试。
生活中0.33…也是包含余差的存在，并且真实存在。把1米平均分成3份，这是可以通过平行法完成的，而所得到的每份既是0.33…米，也是1/3米，三段合起来既是0.99…米，也是1米。
换一种思维，假设1米的长度不固定，先选择任意长度定义为“0.33…米”，那么3段这样的长度则应定义为1米，也就是0.99…米。

因为0.33…＝0.33……+0.0……1（余差）/3
所以0.99…＝0.33…x3＝（0.33……+0.0……1/3）x3
                ＝0.33……x3+（0.0……1/3）x3
                ＝0.99……+0.0……1
                ＝1
说明：0.33…和0.99…表示的是循环小数，0.33……、0.99……和0.0……1表示的是任意位数的有限小数。