从两黑两白中每次随机取一，取到黑放入两黑，取到白则取走，求 n 次恰好白取完的概率

fogking

罐子里有两个黑石头和两个白石头。从罐子里随便拿一块石头，如果是黑石头，就把两块石头放在罐子里：你拿出来的那块和一块新的黑石头。 如果是白石头，就把白石头留在罐子外面。重复这个实验，直到取出两个白石头。设p(n)是结束n次试验的概率。那么p(1)=0, p(2)=1/6, p(3)=2/15。我们想通过设置p(n)的递推关系式来找到p(n)。如何制定递推关系式？

王守恩

\(P(n)=\frac{4(n-1)}{n(n+1)(n+2)}\)

具体参考《每次投篮命中率为 2/3，连续三次投中则通过，连续两次投不中则不通过，求通过的概率》。

fogking

谢谢!
你是不是没有建立递推关系式就得到了这个？能详细说下通项公式怎么写吗？

王守恩

从简单算起。
\(P(1)=\big(\frac{1}{2}*\frac{1}{3}\big)=\frac{1}{6}\)
\(P(2)=\big(\frac{1}{2}*\frac{1}{4}\big)\big(\frac{2}{3}+\frac{2}{5}\big)=\frac{2}{15}\)
\(P(3)=\big(\frac{1}{2}*\frac{1}{5}\big)\big(\big(\frac{2}{3}+\frac{2}{5}\big)*\frac{3}{4}+\frac{3}{5}*\frac{2}{6}\big)=\frac{1}{10}\)
\(P(4)=\big(\frac{1}{2}*\frac{1}{6}\big)\big(\big(\big(\frac{2}{3}+\frac{2}{5}\big)*\frac{3}{4}+\frac{3}{5}*\frac{2}{6}\big)*\frac{4}{5}+\frac{3}{5}*\frac{4}{6}*\frac{2}{7}\big)=\frac{8}{105}\)
\(P(5)=\big(\frac{1}{2}*\frac{1}{7}\big)\big(\big(\big(\big(\frac{2}{3}+\frac{2}{5}\big)*\frac{3}{4}+\frac{3}{5}*\frac{2}{6}\big)*\frac{4}{5}+\frac{3}{5}*\frac{4}{6}*\frac{2}{7}\big)*\frac{5}{6}+\frac{3}{5}*\frac{4}{6}*\frac{5}{7}*\frac{2}{8}\big)=\frac{5}{84}\)
............
\(P(n)=\frac{4(n-1)}{n(n+1)(n+2)}\)
\(\frac{1}{6}+\frac{2}{15}+\frac{1}{10}+\frac{8}{105}+\frac{5}{84}+\frac{1}{21}+\frac{7}{180}+\frac{16}{495}+\frac{3}{110}+\frac{10}{429}+\frac{11}{546}+\frac{8}{455}+\frac{13}{840}+\frac{7}{510}+...=1\)
具体参考《每次投篮命中率为 2/3，连续三次投中则通过，连续两次投不中则不通过，求通过的概率》。
再去仔细看: 那里高手如云, 我也是从那里学的，现学现用。

luyuanhong

王守恩

谢谢陆老师！谢谢 fogking！

罐子里有 a 个黑石头和 b 个白石头。从罐子里随便拿一块石头，
如果是黑石头，就把两块石头放在罐子里：你拿出来的那块和一块新的黑石头。
如果是白石头，就把白石头留在罐子外面。重复这个实验，直到取出 a 个白石头。
设p(n)是结束n次试验的概率。那么，p(n)可以有通项公式吗？

fogking

谢谢两位老师！ 我正在考虑建立递归式，考虑取出白石多少次，就可以直接求出一般的！
让我们多考虑如果有很多石头。

王守恩

谢谢陆老师！谢谢 fogking！谢谢《数学研发论坛》网友 yigo!

罐子里有 a 个黑石头和 b 个白石头。从罐子里随便拿一块石头，
如果是黑石头，就把两块石头放在罐子里：你拿出来的那块和一块新的黑石头。
如果是白石头，就把白石头留在罐子外面。重复这个实验，直到取出 a 个白石头。
设p(n)是结束n次试验的概率。那么，p(n)可以有通项公式吗？

\(p(n)=\frac{a*b*n!(n+a-b)!}{(n+a+1)!(n-b+1)!}\)

\(a=1,2,3,4,5,6,...\ \ b=1,2,3,4,5,6,...\ \ n\geqslant b-1\)

王守恩

求证。 \(\displaystyle\sum_{n=b-1}^{\infty}\frac{a*b*n!(n+a-b)!}{(n+a+1)!(n-b+1)!}≡1\)

\(a=1,2,3,4,5,6,...\ \ b=1,2,3,4,5,6,...\)

cgl_74

刚开始我以为此题简单，没有关注。后来仔细看后，其实解法比较繁琐的。
用递归来做，不是不可以，但是非常繁琐！不知道有什么简单一些的方法。
1、从(2,2)到(*, 0)的解法简单一些，题目中的答案是对的。
2、我用递归方法，计算出从(a, 2) 到(*, 0)的概率公式为：2*a*(a+1)*(n-1)/[(a+n-2)*(a+n-1)*(a+1)*(a+n)]
3、从普遍的(a, b)到(*, 0)，这个过程我用的递归非常复杂，包含2个参数，n项和。我也不知道如何化简。
4、所以，我也不知道楼上那个通项公式如何得到的？逻辑上讲，先证明这个结论是正确的，然后其无穷和显然也为1，这个反而不用证明。
5、顺便说一句，楼上那个普遍的通项公式是错的，讲b=2代入即知错误。