【答】数学通讯里的椭圆题目，联想到的类似的园情形，点N的横坐标的区间

dodonaomikiki

如图所示，
这是一个单位园，
\(点M坐标（2,0）\)   
A,B乃是园的直径之两个端点
PQM乃是圆的一条割线
两条直线PA以及BQ之交点N,求她的横坐标的区间

dodonaomikiki

作图说明：  绿色是一种情形！
改变PQM的斜率，
又是另一种情形【全部用黑色虚线表示】

dodonaomikiki

就单单制图来看，点N的横坐标是一个定值=1

那么，我联系这个帖子进行思考：
以下椭圆题目中的椭圆，
能否仿射成园，
最后还可行？
http://www.mathchina.com/bbs/for ... p;extra=#pid2512442

dodonaomikiki

利用\(X=\frac{x}{2},  Y=y\)进行仿射，
把椭圆馅饼，压缩成圆滚滚的馅饼




这样表面上看，
不成问题，
木有问题！
但是不晓得实际上，
结论是否可以互推？
【椭圆题目的结论，   园题目的结论】

dodonaomikiki

回忆起来，放射变换不变的玩意儿：
共点性
交比
平行
面积比













备忘：
温习仿射变换
放射变换在Brilliant&Wiki上的解释：
An affine transformation is
a type of geometric transformation
which preserves collinearity
(if a collection of points sits on a line before the transformation,
they all sit on a line afterwards)
and the ratios of distances between points on a line.

dodonaomikiki

如果从结论看的话，
椭圆那边，
点N的横坐标\(=1\)
园这边，
点N的横坐标\(=0,5\)
是符合仿射不变性的

ccmmjj126

呵呵，看你这么认真的样子。我告诉你一个知识点，关于二次曲线的极点和极线。那个定点（4。0）就是极点，那个动点（交点）就在极线上，而极线就是垂直于极点和对称中心连线的线。它们有调和共轭的关系。你学习了这方面的知识，自然就一通百通。

ccmmjj126

呵呵，看你这么认真的样子。我告诉你一个知识点，关于二次曲线的极点和极线。那个定点（4。0）就是极点，那个动点（交点）就在极线上，而极线就是垂直于极点和对称中心连线的线。它们有调和共轭的关系。你学习了这方面的知识，自然就一通百通。

dodonaomikiki

ccmmjj126 发表于 2023-5-14 11:40
呵呵，看你这么认真的样子。我告诉你一个知识点，关于二次曲线的极点和极线。那个定点（4。0）就是极点，那 ...

ccmmjj
非常感谢老师
我再好好体会哈【ccmmjj】



下面几个楼层，体现出我比较愚蠢和原始的作法

dodonaomikiki

\begin{align*}
Set:        P(cos\alpha,   sin  \alpha)\\
Q(  cos\beta,   sin\beta         )\\


It's   \qquad    natural\\
AP\\
\frac{y-o}{x-1}&=\frac{sin  \alpha    }{   cos\alpha-1  }\\
\Longrightarrow    y&=\frac{ (x-1)  sin  \alpha        }{   cos\alpha-1  }\\


BQ\\
\frac{y}{x+1}&=\frac{sin  \beta      }{   cos\beta+1  }\\
\Longrightarrow    y&=\frac{ (x+1)  sin \beta        }{   cos\beta+   1  }\\
\end{align*}


计算N点的横坐标：
\begin{align*}
      （   sin \alpha     cos \beta    +  sin  \alpha            ）(x-1)\\
&=(  sin  \beta     cos  \alpha     +sin    \beta            )(x+1) \\
\Longrightarrow \\
&(   sin \alpha     cos \beta       -sin \beta      cos\alpha      +sin \alpha    +sin \beta                              )    x\\
&=sin\beta   cos \alpha -   sin\beta +   sin \alpha   cos \beta +  sin \alpha \\


x&=\frac{       sin (    \alpha     + \beta    )   +   sin \alpha   -sin  \beta        }{      sin( \alpha - \beta  )    +   sin  \alpha     +sin  \beta                 }\\
\end{align*}