漫谈等差数列与指数积分

白新岭

漫谈等差数列与指数积分
如果你是一个读完高中过来的人，你就知到等差数列，和微积分知识，不光知到，就是来上几道这方面的小题，也能把它玩转，在等差数列，求累加和时，即等差数列前n项和公式，等差数列的定义，一个数列，a1=c1，an=\(a_{n-1}\)+d,这里的d是公差，另一种表示形式：\(a_n=a_{n-1}+d\),现在我们构造一个销项法求和（如同初中消元法解线性方程组），a1=a0，a2=a1+d，a3=a2+d，......，an=\(a_{n-1}\)+d,(d是公差），移项，a1=a0，a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，.....，an-\(a_{n-1}\)=d,这些式子，左边的相加，右边相加，则得到an=a0+（n-1）d；sn的推导，另sn=a1+a2+a3+.......+an，倒序sn=an+\(a_{n-1}\)+\(a_{n-2}\)+.....+a1,所以，2sn=（a1+an）+\(a_2+a_{n-1}\)+\(a_3+a_{n-2}\)+.....+\(a_{n-2}+a_3\)+\(a_{n-1}+a_2\)+(an+a1)

白新岭

用an=\(a_{n-1}+d\)代替，一直替换，则最后，可得an=a0+（n-1）d，组合项（即每个小括号单元的之和）都是：2a0+（n-1）d，共n个单元相加，所以，2sn=n（2a0+（n-1）d），↔sn=na0+\({1\over 2}n(n-1)d\)

白新岭

通俗易懂，也可借助三角形面积法，小学的时候，我们就知到，梯形面积等于：（上底+下底）*高/2，等差数列正好满足每层伸缩值（均匀递减，或均匀递增），这里的上下底，就是首项，及末项，“高”就是前n项的n值，同样我们可以获得sn的公式。

白新岭

现在我们把，等差数列的求法引深，比如加权项皆有等差数列构成，如下实例：
1*2+2*3+3*4+......+（n-1）*n， （有（n-1）项相加），现在给出一种方法求和，这是二项式累计和，或许你没有深刻理解微积分，如果，你在积分上，有足够的造诣的话，已学到指数的积分，你会在灵光一现之时，把有等差数列的项，从新构成的类似等差数列，或许会想到，积分与等差数列求和有统一的渊源，先分析实例，我们把每一项拆分成两项，使其有统一形式，以便借助销项法，求出sn的公式，1*2=\(1\over 3\)（\(1*2*3-0*1*2\)），2*3=\(1\over 3\)(\(2*3*4-1*2*3\))，3*4=\(1\over 3\)(\(3*4*5-2*3*4\))，......，（n-1）n=\(1\over 3\)(\((n-1)*n*(n+1)-（n-2）*（n-1）*n\)),另sn=1*2+2*3+3*4+......+（n-1）*n=\(1\over 3\)(\(1*2*3-0*1*2\))+\(1\over 3\)(\(2*3*4-1*2*3\))+\(1\over 3\)(\(3*4*5-2*3*4\))+......+\(1\over 3\)(\((n-1)*n*(n+1)-（n-2）*（n-1）*n\))=\(1\over 3\)\((n-1)*n*(n+1)\)

白新岭

上边公差d=1，其实公差d可以取其他整数，再者，上边只是两项乘积之和，如果是，三项，四项，甚至m项呢？你如何处理，我们看以看，\(a^n\)的积分，对它积分，可以得到：\({1\over {n+1}}{a^{n+1}}\),这里可以看到，积分后，阶增加了1，即比原函数，多了一维空间，同时“积分”也是其体积有了系数，在线上的点积分仍就是点（点无大小），但是线的积分，可以成面，就像小学学的面积公式，体积公式那样，它们会出现阶乘，或\(1\over {m+1}\)的系数。

白新岭

当n是负值时，你就有可能知到了下了类似等差数列的求和公式了：
sn=\({1\over{1*2}}+{1\over{2*3}}+{1\over{3*4}}+....+{1\over{(n-1)*n}}\)
根据，指数积分你能想到什么？
这时，负数加1，会使绝对值变小，两项变成了一项，三项变成二项，即指数绝对值相应变小，这在大熔炉中，原则是一致的。

白新岭

没有人感兴趣，所谓，融会贯通，并不是表面文字那样容易，你想把数学各个分支，统一关联起来，很难，为什么，难？因为，还没有把握住内部联系的纽带。