【答】四棱锥藏地球之三，可能比较基础

dodonaomikiki

ABCD-EFGH乃是一个单位正方体

CH,           CE,                   CF,                CG构成一个四棱锥，
现在，
在这个椎体里面塞进一个最大的球体，
求这个球体的半径

dodonaomikiki

吧其中的两个面涂色一哈
请看

dodonaomikiki

剥离出来之后，
这个四棱锥，四条棱的长度来看，
倒是比较简单！
但是，
里面想建立一个最大的圆球坐标从而来计算，
感觉也甚为不易

dodonaomikiki

草图只能示意用
其中两个面已经涂上黄色。

dodonaomikiki

制图水平非常有限，
4楼图形太差，
稍加以改进！便于解题
请见草图

NHY007

针对该问题可作如下分析推导：
四个平面方程为：
\[
Plane\,\,ABCD:z=0
\\
Plane\,\,ABE:\left( 0,1,0 \right) \times \left( -1,0,1 \right) \left( x-1,y,z \right) =0
\\
Plane\,\,BCE:y=1
\\
Plane\,\,CDE:x=0
\\
Plane\,\,ADE:\left( 1,0,0 \right) \times \left( 0,1,1 \right) \left( x,y,z \right) =0

\]
四棱锥内的点为满足：
\[
\left( x_0,y_0,z_0 \right) \left\{ \begin{array}{c}
        z_0>0\\
        \left( 1,0,1 \right) \left( x_0-1,y_0,z_0 \right) <0\\
        y_0<1\\
        x_0>0\\
        \left( 0,-1,1 \right) \left( x_0,y_0,z_0 \right) <0\\
\end{array} \right.

\]
锥内的点到五个平面的距离为：
\[
\left\{ \begin{array}{c}
        d_1=z_0\\
        d_2=-\left( 1,0,1 \right) \left( x_0-1,y_0,z_0 \right)\\
        d_3=1-y_0\\
        d_4=x_0\\
        d_5=-\left( 0,-1,1 \right) \left( x_0,y_0,z_0 \right)\\
\end{array} \right.

\]
求原题中的最大半径即为求\(d_i\)最小值的最大值：
\[
r=\max \left( \min d_i \right)

\]

NHY007

根据楼上推导，使用数值算法可知，在原问题单位立方体中的四棱锥内，最大的内切球半径约为\(0.3317\)，球心位置约为\([0.0050       \ 0.0101 \ 0.0050]\); 诚然，精度有限，并非最完美的解，只能说是接近的解。
附Matlab代码：

1. clear; clc;
   
2. N=200;
   
3. x0=linspace(0,1,N);
   
4. y0=x0; z0=x0;
   
5. [xGrid,yGrid,zGrid]=ndgrid(x0,y0,z0);
   
6. pos(:,1)=reshape(xGrid,[numel(xGrid),1]);
   
7. pos(:,2)=reshape(yGrid,[numel(yGrid),1]);
   
8. pos(:,3)=reshape(zGrid,[numel(zGrid),1]);
   
9. d=[pos(:,3),-(pos(:,1)-1+pos(:,3)),1-pos(:,2),pos(:,1),pos(:,2)-pos(:,3)];
   
10. rC=[];
    
11. for index=1:5   
    
12.     [rC1,~]=find(d(:,index)<=0);
    
13.     rC=[rC;rC1];
    
14. end
    
15. rC=unique(rC);
    
16. pos(rC,:)=[];
    
17. d(rC,:)=[];
    
18. [dMin,dMinIndex]=min(d,[],2);
    
19. pos=pos(dMinIndex,:);
    
20. [dMinMax,I]=max(dMin)
    
21. pos(I,:)
    
22. plot(1:numel(dMin),dMin,'.');
    
23. figure;
    
24. scatter3(pos(:,1),pos(:,2),pos(:,3))

复制代码

dodonaomikiki

最大的内切球半径约为
0,3317

dodonaomikiki

圆球  与平面\(PTA\)有一个接触点，或者说切点，
那么，   她肯定有一垂足
\begin{align*}
\Longrightarrow    进而，  面(P\Omega  Q)  与面   (PTA)     与面( \Omega  TAQ )\\
之间构想出一直角三角形\\
\Longrightarrow      类似于Rt\blacktriangle     PAQ\\
\Longrightarrow    x&=\frac{PQ \bullet      AQ}{  PA+AQ+PQ   }=\frac{1 \bullet    1}{  \sqrt{2}+1+1   }=\frac{1}{2+ \sqrt{2}   }\\
&=\frac{2-  \sqrt{2}   }{    2}\\
\end{align*}

总结：  很见单！如果木有做错的话
如果四五十年不做立体几何，
再重新捡拾，
确有一定困难，
需要一定想象力

dodonaomikiki

\(=\frac{2-  \sqrt{2}   }{    2}  \approx   0.29289\)