专访 Stephen Smale 教授

luyuanhong

专访 Stephen Smale 教授



策划：刘太平

访问：刘太平 、尤释贤

时间：民国 93 年（2014 年） 12 月 19 日

地点：中央研究院数学所

整理：陈兆年

来源：《数学传播》2005 年第 29 卷第 2 期（114）

Stephen Smale 教授 1930 年出生于美国密歇根州。1957 年获得密歇根大学博士学位。四年后升任哥伦比亚大学正教授，1964 年转至加州大学柏克莱执教三十年，1995年香港城市大学礼聘为 Distinguished University Professor 。现任 Toyota Tech. Inst. at Chicago 所长。Smale 教授在动态系统、几何、拓朴有划时代之贡献，并在计量经济学、作业研究，以及信息科学方面的数学理论均有显著的成就。1966 年荣获 Fields Medal 。此外，他是 1965 年 Veblen Prize ，1988 年 Chauvenet Prize ，1989 年 von Neumann Award 几项大奖的得主。为 American Academy of Arts and Sciences ，National Academy of Sciences 和 Econometric Society ，等多个学会之院士。

刘太平（以下简称“刘”）：Steve，首先要谢谢你老远来到这里，我一般不这么说的：我们感到荣幸。

Smale（以下简称“S”）：谢谢邀请。

刘：从一个单调的问题开始吧，你的数学生涯如何开始的？

S：你是说，我怎么开始做数学的？

刘：是的，你为何对数学感到兴趣？你从小就对数学有兴趣？

S： 中学时我对一般科学有兴趣，念大学时先是主修物理。由于大三时物理成绩不理想，我修了一些数学课到大四时转为主修数学。 念大学时我并没有将时间全力投入学业，总平均是 B ，数学成绩平均是 B+ 。

刘：过一段快乐的日子？

S：是的，有意思，我活跃在政治和很多其他的事情，例如下棋。选数学课好坏都有，对我而言大学时光是美好的。

刘： 我在密西根大学念研究所的时候耳闻你在那里书的故事，你博士论文解决了一个重大问题，日后你指导了许多研究生作论文也都是给他们难度很高的问题吗？

S：我尝试给予比较简单的问题，虽然有时困难度超出我原先的评估。

刘：其实我第一次听到你的名字是在去密西根之前，我在奥立岗州立大学一年，一位拓朴学家 Wolfgang Smith ，上课时说一般人只能看到三维空间，但少数像 Stephen Smale 的人能看到三维以上的空间，是吗？

S：哦，不，嗯，从某方面来说也可以说是的。从高维空间映射（projection）到三维或二维空间能帮助你思考高维空间的情况，例如你看到三维空间结（knot）的结构，可以想象四维空间中的二维球面，并无神奇之处。

刘：对一般人而言就很神妙，谈到 Poincare conjecture 你是第一个在这问题上得到重大突破的，想必很高兴看到之后的进展？

S：是的，这方面很有意思，但自 1961 年，我已经有四十年未研究拓朴学，所以这方面的后续发展，也没有特别的关注，说不上满意不满意。当然我对最近发展感到兴趣，圣彼得堡的年轻人 Perelman 看来很可能解决这问题，不错，不错。

刘：你最近是否比较关心应用数学方面的问题？

S：不，我并不特别对应用数学感兴趣，不是应用数学，也不是纯数学，都不是。数学，O.K.，我比较用力于建立理论基础; 应用数学家不认为我做的是应用数学，因为我太注重科学应用的理论化，我做的也不算纯数学，不是古老数学领域，而是现在人们关心的问题的理论化。所以既不全算纯数学也非应用数学。

应用数学传统上以能立即有用为其成败的衡量标准; 你知道，我的目标像 von Neumann 引进 Hilbert space ，建立量子力学的理论基础一样，他那年代量子力学是科学上的大事，没有人比他在理论上做得更多。现在他做的结果已被广泛用在其他方向上。我的目标就是这样：我是想对某些方向找出一些基本的东西来，这次我来这里谈的是学习理论（learning theory），我花很多时间试着去建立理论基础，我写了一篇以这个为篇名的文章，约略说明这点。

刘：你是说应用数学是针对特定的问题用特定的方法去解决？

S：是的，这并非我的研究哲学。

刘：你曾在香港待过一段时间，对香港社会有所了解，它和你大部分生活在美国西部的社会是不同的，对吗？

S：香港在某些方面是个很前进的社会，你也可以看到许多差异，我想最显著的可能是学生方面，一般而言他们相当用功，但我发现他们缺少美国学生的独立精神。

刘：你认为这是最大的差异？

S：在大学中而言确实是如此。

刘：大学中许多老师曾在美国研究所读书。

S：是的。我谈到的是修我课的学生。

刘：俄国数学家 Arnold 曾经说过你是他心目中极少数的偶像，你可能知道这件事？

S：是的，我读过这篇专栏。

刘：您数十年的科学生涯，未来还有许多年。可否告诉我们哪些是你最兴奋的时刻？

S： 兴奋的时刻？当你多次尝试努力，忽然成了，经过反复验证，几星期，几个月，仍然没有错，那么人们很喜欢，你便感到满意。比如我在 Poincare conjecture ，多维的工作。有时当你的工作一方面结果是正确的，一方面愈来愈多人关注，感觉有兴趣，这可能需要一段时间，甚至许多年。一个我觉得很好的例子就是 horseshoe ，经历十年、二十年才逐渐受人喜欢肯定的。数学证明是艰辛的，经常以为是对的，一星期或几星期后发现有错，这可能是较普遍的经验。

刘：研究工作是人与人之间的活动。

S：是的，偶尔很幸运的抓到了正确的想法，反复思索确定是对的，受到关注和重视，感觉好棒。

刘：除了拓朴方面相关的研究，你在研究上的兴趣涵盖计量经济学、学习理论许多不同的领域，你是否和相关领域的学者交流讨论，交换意见？或者你了解这些领域的基本知识后就去建立相关的数学理论基础？你和经济学家有广泛深入的讨论吗？

S：我很幸运能和经济学家 Gerard Debreu 讨论经济学方面的知识。学习理论方面，我和 Felipe Cucker 有研究上的合作。我们花了许多时间阅读，试图了解过去非数学家所已经做的研究。有时候理解别的领域的研究工作相当困难，有些深奥的概念需要花长时间才能领会，我们花了两年的时间才写一篇论文，因为要自我更正许多不正确的观念。我们并没有告诉别人这段艰辛的岁月，不断的在图书馆检视相关文献，浏览而非详细阅读，追踪人们已完成的工作，逐渐的进入这领域。一旦掌握了基本知识，我们就清楚要如何进行，开始建立研究所需要之环境，在香港被邀请参加研讨会进行许多广泛的学术讨论，多数与会者是从事统计、工程、信息而非数学方面的研究工作。

刘：你面对许多不同领域的人吗？

S：是的，又有数学工作研究者也进入学习理论的领域。主要是逼近理论方面的学者，如 Ronald Devore，Albert Cohen 目前投入这方面的研究工作，这算是我们一个小的贡献。

刘：你不打算回到拓朴、几何领域的研究吗？

S：嗯，事实上这次来台湾的第二次演讲将谈到资料的拓朴结构，让我回到四、五十年前熟悉的微分几何，重温 second fundamental form ，manifold ，代数拓朴等的数学。这些数据形成欧氏空间 submanifold 上的曲线，问题是如何判定 manifold 的 homology 。我和 Shmuel Weinberger 合作得到了一些结果，此人在信息科学和拓朴方面皆学有专精，你知道他吗？

刘：认得，许多年前了，他曾在 Courant 研究所？

S：不错，他曾是 Courant 研究所的学生，现在是芝加哥大学教授，他是我们三位合作者之一。我和他讨论许多和拓朴相关的研究，因为他对计算拓朴感兴趣。我们合作的论文是我第二个演讲的内容。

刘：你以自然的态度处理事情。对学生而言是一件正面而且可以深切省思的事，当他们知道大数学家 Stephen Smale 并不讳言自己需要重温 second fundamental form 。

S：是！（笑声）

刘：你是否觉得在求知的过程中，要承认即使是一些基本知识，也要重新学习？

S： 对，但要有自己的观点，我从未全然重新学习，用以往的经验把所有的部分一齐来看，感觉似乎比初学时容易，其实也许并非易事，很难说。

我和儿子常讨论数学，从他那里学到许多，他研究最小曲面的问题。

刘：他目前在犹他州，是吗？

S：不错，我常打电话给他，在这篇论文中需要知道几何上一些基本的问题，我尝试从他那里获得所需之知识。

刘：那不是太方便了？

S：我确实幸运有一个精通微分几何的儿子，我们谈到 second fundamental form 。

刘：你父亲是做什么的？

S：我父亲？他是一般人所称之白领阶级。他念过两年专科，曾在密西根汽车内燃机工厂从事陶瓷工作。他不属于受工会保障的人员，最后的工作是转任夜间保全人员。他心想能成为作家，曾写过小说但无法出版，不知道是否将版权卖了，可以这么说他不算很成功。

刘：在数学界众所周知你是自由主义者，也许这标签并不正确，但反战之类的思想是否受到你父亲的影响？

S：我想可能是的。在 1919 年我父亲从共产党中分裂到另一个左翼小党，党名 Proletarian Party 是一个很小的党。他思想激进，崇尚马克思主义。我学生时代曾参加共产党，但时间很短，后来在 1950 年代我转变为反对共产主义者。到了 60 年代我成为反战分子，反对越战。在同时期，我对经济方面持保守主义，而非左派自由主义者。我主张市场经济，我研究了一些市场经济中的各种问题，经济上虽然我并非极端的保守主义，但倾向市场经济。对于外交政策则站在左翼，反对战争、反军事竞赛之类的行为，因此很难说我是左派或是自由主义者，要看是针对哪些事情。

刘：你对公众事物很关心？

S：是的，我思考过很多这方面的事情，对国内之事尤其是外交政策表达强烈的意见，对社会问题我较倾向自由主义。但我反对诉讼，在反诉讼上是非自由主义的。

刘：律师常拿到一笔大的诉讼费。

S：某些事情就像反诉讼这事上，我比较倾向布什总统的保守观点 （刘注：科学家正应以科学定律为优先指导原则，此正是 Smale 教授的科学良心所在！）。

刘：不论是自由主义或是保守主义，数学方面你喜欢研究的问题和这些无关？

S：有一点，但也不全是，我对经济方面的兴趣和这些有关。我尝试花时间在一些对社会有用之事务建立数学理论，当然有时我也因此得做纯理论数学的研究，但在思考问题的观点上，我大部分的抉择是超越数学，对人类未来前景有帮助的问题更令人振奋。虽然很难有非常清楚的界限来区分，但原则上是如此的。

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刘：对年轻人如何选择未来的走向，你有何建议？你觉得有资赋的年轻人该做什么？

S： 有许多数学家建议年轻人未来立志研究数学，我并不会这么说或作如此建议。今天早上我和台湾大学的教授们聊天，他们谈到大多数最具资赋天份的学生，不念数学系，但非数学系的学生来修高等数学课程的人数大幅增加，比二十年前增加许多。二十年前这类数学课班上同学屈指可数，清一色数学系的学生，现在修课人数增加到三位数，极大多数来自外系。对我而言数学已不是传统数学系所认知的数学，因为我本身看到许多数学能力很强的人不一定待在数学系。有鉴于此，我并不建议年轻人成为传统的数学家。我可能并不会说不应该或不可以如此，但未来有许多需要数学的地方，诸如信息、电机和工程等领域，都需要更多或更深入的数学。

刘：虽然你没说，但你鼓励学生加强数学的能力？

S：在现代的生活，数学能力是学生的重要资产，这点我比以往更确信。既然如此多领域需要数学，有数学能力的人自然就比别人处于更有利的位置，但不是只具备数学就可以。以医学或生命科学的领域而言，若再具备许多生物分子学的知识，就具备做研究的能力了。

刘：你指的是建立良好基础，增加通识与能力？

S：确实如此。

刘：数学是其中一项应具备的基本能力？

S：完全正确。

尤释贤（以下简称“尤”）：是什么使你走向未知的方向？

S：哦，学新的东西很有意思，尤其是你觉得会有所贡献。我所谈的并非是美国科学杂志中那些，而是在某些具有研究价值的地方，感觉到我的努力和投入将获得回馈，能有所贡献，某些我感兴趣的领域，学习后能找出与数学的关联性，进而获得实质的成就，这就是最主要的原动力。

尤：你年轻时如何决定投入这个领域？你不担心没有收获吗？

S：总是有风险。以我而言，最早做拓朴方面的研究，当我在这方面已有研究工作的经验，我遇到一些从事常微分方程整体动态研究的学者，和他们讨论。我提议使用拓朴的方法来考虑问题，我乐观的想法是利用我拥有的数学基础应该容易下手，得知常微分方程整体动态会具有哪些有趣的现象。实际进行所花的时间远超出预期，我从常微分方程动态性质着手，那是大约1958年，当我感觉能有所作为，我迅速翻阅了Lefschetz 所写的书“微分方程：几何理论”，我本已具备 manifold，正交理论（transversality），微分拓朴方面的知识，相信只要再多花一点时间，将在此领域上有所突破，这是我的一个例子，最后终究成功的获得成果，写出了论文。

刘：其中一项因素是你具备如此的能力。

S： 我想部分是心理上的因素。有些人接触新的领域把自己视为学生，我不这样，没有这份耐心。虽然我原先不懂常微分方程，但我直接从研究文献着手，花了一些时间，逐渐成功地逼近所需了解的知识。尝试以最快速的方法开始进入研究，虽然常遭遇失败。以平行并进的方式而非自最底部往上移动，这其中有很大的差别，如果你从底部开始，将花费太多的时间，我根本不想这样做。面对新的领域，不采用学生的学习方式，从制高点，和那领域有成就的数学家的高度来帮助学习。

刘：你是否利用和他人讨论的机会，增加学习效率？

S：经常是如此。我常进入图书馆，现在更多是使用网络搜索资料。我快马加鞭，从成千上万的图书中找出那些对我学习有帮助的。我翻阅，并不从头至尾阅读，只找出需要的章节，寻找刺激思路的方法。我没有学生拥有的时间，因此尽量利用手边所掌握的参考资料。为了了解生物、学习理论等其他领域的知识，我参考其他数学学者将别的领域知识已融入的资料，而非该领域学者所写的原始数据，这样很快就可以进入状况了。

刘： 你学习和阅读许多东西而选出一些有用的部分？

S：不错，许多我工作的领域我并非全盘皆通，太多的知识与现象，而人的时间却是有限（生也有涯，学也无涯，刘注）。因为研究学习理论，我学了机率和统计，但仍有许多机率和统计的支领域我是一点都不懂的。我告诉统计学者不要认为我什么都知道，有些部分我相当了解可以提出恰当的问题，但有些即使领域相当靠近的统计知识我却很陌生。我采用这样的学习方式可以节省大量的时间。我也经常借由和他人讨论的方式学习，在讨论的过程中，有时别人可能比我学到的更多，相互受惠。Dennis Sullivan 和别人讨论远多于他自己去阅读，这是他寻求资料的方法，我介于中间，阅读和讨论两者皆有。

尤：你如何将和别人讨论之中得到的信息内化为你研究问题的动机与看待问题的直觉？

S： 我首先尝试看看有哪些重要问题可能可以解决。先作些假设，逐步逼近，大多数时间发现并不能奏效，必须作调整。当学生要求给他们某些问题做，我试着找一些大约花一星期有机会想出部分结果的问题。我针对特殊情况作一些讲解，吸引他们的兴趣在短时间内有新的结果，这是我的哲学，希望惊喜能不断出现，虽然其实并非经常如此顺利。我尝试让学生能实时进入状况，有一些成就感，我自己亦是如此，希望回收能尽早实现。

刘：换句话说，你并不建议学生使用非常艰难的方法去找答案。

S：正是如此，但有时候学生会遇到状况，需要多学一些解决问题的方法。

刘： 但你的本意并非让学生先花很多时间学习再做问题？

S：对，你说到重点。事实上如果需要半年以上长时间的学习，而之前完全不能进行任何研究工作的领域，我并不会投入。我也不会用如此的方式去指导学生。

刘：愈来愈多的人重视数学，选修高等微积分和实分析。诚如你所说的，数学可提升研究能力，你是否曾思考过大学的数学教育？

S：我思考过，但情况比较类似我们所说“挂在天空中的饼”。我对数学教育有所批评，和一般从事数学或数学教育的学者从一些完全不同的观点来看问题。我觉得大学一、二年级的数学课程需要改进。谈到微积分，我自己就修得很糟，我的工作经常在微积分上出错。这门课内容不够宽广。和其他领域的教科书作比较，经济学有很好的教科书，由 Paul Samuelson 编写，涵盖所有经济的基本知识。物理有 Feynman 的讲稿介绍物理的基本知识。数学课程一年级学生修微积分没有整体方向，不知学微积分的动机何在？教学生如何如运算、解题等技巧但缺乏启发性。我的想法是有一门课，让学生对数学领域有整体的概念和图像，类似 Feynman 的物理讲稿，广泛而且略带深入的介绍高等数学，不是只谈微积分而是数学整个领域。一整年的课涵盖所有基本而重要的数学主题与概念，并且说明彼此之间的关联性。对我而言这会是一门很棒的课。我曾说如此的想法虽然很好，但实行上并不容易，像“挂在天空中的饼”。这样的课程需要一个团队的人来写教科书，它像是设计一件浩大的工程，需要很多的讨论、协调才能完成。内容涵盖所有最基本的知识，线性代数、数论、代数学中 Galois 理论，可能只是概念性的介绍，Hilbert 空间中一些简单的性质，以矢量内积空间为主，排除牵涉艰难之技巧层面。

刘：例如，不要讨论可测函数？

S：对，不要花时间在可测函数，可以谈些机率。这样涵盖所有基本知识的数学课就如同 Sam-uelson 的书或 Feynman 的讲稿，会很具有启发性。可以把许多相关的问题融入微积分的教学，不要只偏重解题，要让学生对数学有实质的感受，整体的效应。一般微积分的课程只将重心放在计算面积、体积等几何问题，我想到这个就生气，还有求极大或极小值等最佳化问题。课本都是如此编写的。应该谈一些常微分方程的概念，介绍 Van del pol equation 的几何性质，安排成一门一整年的课程。

刘：这样的课似乎超出三学分。

S：四学分没有问题，教法上要有效率，不拖泥带水，让学生了解许多概念，无关基础的内容不要放进去。

刘：不要花时间在 ϵ − δ 的证明吗？

S：需要时点到即可。你看研究生的分析课也面临同样的问题。许多课题，如拓朴学等个别分开来讲，没有让学生对基础的知识有整体的感受。Serge Lang 编写一本分析的书我很喜欢，其内容涵盖傅氏分析、谱理论 （spectral theory）、Hilbert 空间以及在此函数空间上之微分、积分。所有这些课题都没有谈到细微末节，但很直接的讲述其精义和概念。这样的精神和理念是我赞同的。有些研究生修了三至四门课才开始进入 spectral 的世界。其实在第一学期就可以开始有接触。我想写一本这样的书，因此和 Morris Hirsch 合写一本常微分方程的书。有时我觉得接下去第二门课可以写一本偏微分方程在 Hilbert spaces 的书。理念上尝试将 Hilbert space 的观念和性质导入偏微分方程，一学期的课，以线性方程为主。上述所谈的是一些课程的想法，有时候我谈到一些事情稍微偏离你的问题。

刘：不，不，非常好。但我在想为什为这样好的想法却到如今仍未落实？是问题本身有实质性的困难，还是在实行上没人愿意花那样大的工夫？

S： 努力不易再加上某些抗拒的力量所造成，部分是行政上的困难。它所涉及的不只是写一本书而已，你得花时间精力去企划让出版商能卖出这本书，不是坐着写书期待它发生。因为整个课程重新编排牵涉极广，你如何说服别人改变教法？我认为 Serge Lang 的分析是本好书，我在柏克莱时曾在课程委员会说服同仁采用为教科书，但成为教科书后教这门课的教授换了人又改用其他的书。我能体会这种情况，因为每个人习惯自己的教学方式，要改变成另一种完全不同的方式有人就会产生抗拒。这需要许多努力才可能完成，所以我比喻为 “挂在天空中的饼”。

刘：真实的世界就是如此。

S：是的，包括我自己也一样。当我教一门课别人告诉我一些很好的新点子，但要花时间重新准备，作大幅改变，我也可能拒绝。但也有些人愿意，所以我们耐心去等，只要付出努力，有人会愿意去做。但许多人还需致力于其他事务，我不会责备这些人，问题并非责难他人，而是等待有心人去做。多数人不愿改变教书的语言，通常需要长时间才有可能落实。

刘：是否可告诉我们你遇到过的数学家或科学家所发生的一些小故事？

S：我最近写了一篇 Shannon theory 的 paper 刊登在 American Mathematical Scoiety Bulletin，献给一位已过世的好友 Réne Thom。他对十九世纪的数学，复变量分析无法接受，他曾生气的说十九世纪在数学上是倒退的，这样类似的评论。在献辞中，我说虽然有些事因看法不同而引起争论，但彼此的好胜和竞争令我珍惜。对 Catastrophe theory 的看法我们之间也有重大冲突。他曾是我的好朋友和支持者，也因此彼此之间产生相当多的摩擦，和 Chris Zeeman 也有，他们都是能力很强的人。

刘：我曾阅读过这段故事，那是 1970 年间发生的事，到现在已经相当长的时间。

S：通常我和他人并无冲突，偶尔发生而已。

刘：是否有些令你惊讶或很美，感触很深的事情？

S：虽然心中不存在偶像，但我心存感激看到有人完成令人欣喜和振奋的研究工作，包括能欣赏许多美好的数学。最近意大利有一群人从事 learning theory 的研究寄给我一份尚未刊登发表的论文。针对我和 Felipe Cucker 三年前所发展出的理论，此论文中有些新的改进，我觉得相当不错。有一位同仁审查此论文，认为不值刊登，我心中不以为然，告诉他这篇论文赞同我们以往所得到的成果。

这类的事情并非每年发生，那是去年的事，以往的都忘了。我在唸研究所时遇到一位很聪明的研究生，有一个问题开始时我独自去做，他后来加入很快就进入状况，令我印象深刻。我们一起合写了一篇论文，那是念研究所的时候，现在这种情况比较普遍，以往很少发生。

刘：你的数学人生是很丰盛的。目前你在芝加哥丰田中心（Toyota Tech. Inst.），请你简短描述它的特性和你计划做什么？

S：它是信息科学的研究所，虽然有三位学生，研究比重远超过教学。我的工作是协助建立一个研究中心，以 learning theory 为主，并未完全涵盖广泛的信息领域。期望有一个场所让全世界的研究人员可以共襄胜举。我的目标是成立一个全球性的中心研究信息和数学相关的现象，我将大量的努力和心血投入其中。

刘： 太好了，谢谢你。

注：本文访问人刘太平任职于中央研究院数学所，尤释贤任教于香港城市大学; 整理者陈兆年任教于公立彰化师大数学系，现为中央研究院数学所访问学人 。

刘太平等 好玩的数学 2023-05-24 07:03 发表于江西