a,b 是正实数，已知 a+b=k ，求 (a+1/a)(b+1/b) 的最小值

wintex

請問數學

xfhaoym

利用柯西不等式：（a^2+b^2)*(c^2+d^2)>=(ac+bd)^2就能求出当ad=bc时有a=b=k/2，有最小值。

wintex

xfhaoym 发表于 2023-6-3 15:50
利用柯西不等式：（a^2+b^2)*(c^2+d^2)>=(ac+bd)^2就能求出当ad=bc时有a=b=k/2，有最小值。

柯西怎麽用，請問老師

cgl_74

规规矩矩按套路做，消元法+导数求导，注意等价变换。
导数的零点：在a=k/2时必有一个；当k值满足上面那个不等式，还有2个零点，对应的值就是上面写的最小值。

注：学生不可能是在自学吧？建议加强师资力量，稍加讲解一下就可以了。

王守恩

电脑是这样出来的(电脑是忠实的老师)。

a,b 是正实数，已知 a+b=k ，求 (a+1/a)(b+1/b) 的最小值

1,基本公式。

\(当a=\frac{k+\sqrt{k^2-4\sqrt{k^2+1}}}{2},b=\frac{k-\sqrt{k^2-4\sqrt{k^2+1}}}{2}\ \ 时,\)
\((a+1/a)(b+1/b) 的最小值=2\sqrt{k^2+1}-2\)

2,考虑分界线: \(k^2=4\sqrt{k^2+1},即:k=\sqrt{8+4\sqrt{5}}\)
k=1,a=b=1/2,s=25/4,
k=2,a=b=2/2,s=16/4,
k=3,a=b=3/2,s=169/36,
k=4,a=b=4/2,s=25/4,

3,\(k>\sqrt{8+4\sqrt{5}}=4.11634\ 开始用基本公式。\)

4,\(当k\to\infty\ \ \ \ \ 最小值\to 2(k-1)\)

我们要的是最小值，当然是越小越好。

luyuanhong

cgl_74

6楼陆老师的结果是错误的。第一阶段x的值算错了。第二阶段取导数的判断也是错的。导致整个结论错误。但有意思的是，结论正好是相反的。
5楼王同学的答案接近真实答案。虽然电脑没告诉他本质原因。

luyuanhong

谢谢楼上 cgl_74 指出！我原来的解答有一步正负搞错，最后结论相反了，现已更正。

天山草

上面这个电脑的解答，看来跟陆教授更正后的结果是一样的。

王守恩

还可以简单。b看作1，a看作(k-1)，

\((a+1/a)(b+1/b) 的最小值=2(k-1)+2/(k-1)\)

k越大，最小值误差越小。