2023 \(\blacksquare \) T8联盟压轴卷中之妥圆表现

dodonaomikiki

题目如下

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解答如下


\begin{align*}
Set:\\
\Gamma:  \frac{   x^2}{8}   +\frac{y^2}{2}=1\\

  \begin{cases}         p2M  \longmapsto  k1            \\        p2N  \longmapsto  k2                                  \\    MN  \longmapsto  k                                 \end{cases}\\
Hence\\
\ell_{MN}:   y=kx+m(  k  \ne   0)\\
\end{align*}



\begin{align*}
Set:\\
M(x1,y1),  N (x2,y2)\\
Combine   \qquad     \ell_{MN}    \qquad     and  \qquad     \Gamma:\\
\Longrightarrow      \frac{   x^2}{8}   +\frac{(kx+m)^2}{2}=1 \\
x^2+4(kx+m)^2=8\\
(1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0\\


\Delta   \succ    0\\
\Longrightarrow        64k^2m^2-4(1+4k^2)  \bullet    4(m^2-2 )  \succ  0\\

4k^2m^2-(1+4k^2)  \bullet    (m^2-2 )  \succ  0\\

8k^2   \succ  m^2-2\\
8k^2 +2  \succ  m^2\\
It's    \qquad    obivious   \qquad    that\\
  \begin{cases}           x1+x2= \frac{-8km}{  1+4k^2 }        \\     x1 \bullet  x2= \frac{ 4( m^2-2  )   }{  1+4k^2 }                \end{cases}\\
\end{align*}

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但是不晓得，
这个不等式得出来之后，有什么用？ 到后面，好像也不见的有用！

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\begin{align*}

Cauz   \\
k1+k2+2k\\
&=\frac{ kx1  +m-\sqrt{2}    }{x1}  +\frac{ kx2  +m-\sqrt{2}    }{x2}+2k=0\\
\Longrightarrow         2k+2k   +(m-  \sqrt{2} ) \bullet      \frac{   x1+x2}{ x1x2    }&=0\\
\Longrightarrow   4k   +(  m-  \sqrt{2}  ) \bullet      \frac{   -8km}{4(m^2-2  )    }&=0\\
4k-  \frac{   2km}{m+  \sqrt{2}     }&=0\\
2-\frac{   m}{m+  \sqrt{2}     }&=0\\
2m+2 \sqrt{2}   &=m\\
m&=-2 \sqrt{2} \\


\Longrightarrow        \ell_{  MN}:  y&=kx-2 \sqrt{2} \\
\Longrightarrow       如此一来，  就表明了一点：直线&MN经过定点【0，-2 \sqrt{2}  】\\
\end{align*}

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这道题目，
考擦的知识点

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针对三楼，
进行制图！



因为直线交妥园两点，
考虑到只考虑直线斜率大于O，
所以，只要计算切线斜率差不多满足这个不等式即可！

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\begin{align*}
8k^2   +2  &\succ    m^2\\
因为m已经晓得\\
\Longrightarrow   k\succ  \sqrt{   \frac{6}{8}}&=\frac{\sqrt{3}}{2}   \approx  0,866\\




然后考虑切点&【2,45  \qquad      -0,71】\\
定点坐标& \approx  【0  \qquad      -2,828】\\
这两点构成直线，其斜率如图所示， &  \approx    0,864489\\
与上面那个斜率比较接近，那就可以了哇\\
\end{align*}

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7楼之切点，
形象地表示在六楼