希尔伯特的计划是需要研究的

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1.3，有穷主义为特征的构造系统元数学的应用
希尔伯特1899年出版了包括康托尔公理的，由20条公理构成的《几何基础》，但这个公理体系的无矛盾性依赖于实数体系的无矛盾性，所以1900年他就提出了23个问题中“连续统假设与实数系统的一致性”问题，1908年布劳威尔提出三分律反例后，1922年又提出通过“元数学Tm来证明对象理论TF的协调性”的希尔伯特计划。这个计划在百度网站有介绍。这个介绍中说道：1931年K.哥德尔发表了著名的不完备性定理（见哥德尔不完备性定理）；这给希尔伯特的证明论计划以沉重打击。虽然他的目的没有彻底实现，但希尔伯特在计划中所倡导的有穷主义的构造方法即是一种以有穷主义为特征的构造性数学研究。这也是现代构造性数学的一支，这个介绍说的“”由于无穷不能在经验中直接验证，故希尔伯特称之为理想元素，并将古典数学中以实无穷为前提的命题称做理想命题，反之将有直观意义的命题称作现实命题”是必须的；哥德尔的不完备性定理，只是说明：形式主义方法的不完善性，这个不完善性可以用联系实践的事实的唯物辩证法解决。”为此，这一节将使用普通语言（或称元语言）叙述一下，使用唯物辩证法对无穷集合应有的认识，以及希尔伯特1900年提出的23个问题的第一第二两个问题的解决方法。
根据毛泽东在《矛盾论》中的“事物矛盾的法则，即对立统一的法则，是自然和社会的根本法则，因而也是思维的根本法则”的论述，应当知道：虽然理论可以指导实践，但也需知道：理论来自于实践，并需要在继续研究中改进。例一，虽然前文1.1.1节定义1谈到理想自然数是“忽略了现实集合中各个元素大小差别的元素个数的表达符号”，但还需要指出：这个定义只是研究离散性现实事物的中的一个必要的定义，还需要补充上现实数量大小的研究，这时就需要研究苹果的大小，这个问题属于连续性数量的研究。对连续性现实数量的的研究，参看下文第二节，初等几何中“点没有大小”概念，只能是理想点，还需要提出有大小的现实性近似点，对足够小的近似点，可以忽略其大小，转化为理想点，对使用理想点解释不通的几何学问题（例如，没有大小的点如何构成有长度的线段问题，又可以转化为足够小近似点，只有使用这两种点的相互依赖、相互对立的对立统一法则，才可以解决几何理论中涉及点的几何学理论问题）。第二，对前文1.1.2节定义2中“包含所有自然数的元素个数为非正常实数+∞的自然数集合叫做：元素个数为非正常实数+∞的含有所有自然数的，不可构造完毕的想象性质的、无穷性质的、非正常自然数集合”的叙述，需要知道：数学理论阐述时，无穷集合的术语是需要使用的，但需要知道：“无穷与有穷之间具有对立统一的关系”，即一方面需要知道：无穷依赖于有穷，无穷集合是有穷集合序列的极限，这个极限性事物具有这个序列达不到的想象性质，无穷集合只是理想性质的数学元素；另一方面，又需要知道：有穷序列的变化需要以无穷集合为其极限。即康托尔的“数学必须肯定实无穷，无穷集合是完成了的实无穷”的观点具有片面性，他只看到前文自然数集合1.1.2节中“以有穷有理数集合为项的无穷序列趋向于无穷的性质，但没有看到这个无穷集合序列达不到无穷的性质。所以康托尔的“数学必须肯定实无穷，无穷集合是完成了的实无穷”的观点不成立。第三，根据前文1.2节的讨论，可知：ZFC形式公理体系无法建立无矛盾的无穷集合理论，这个形式语言公理体系，需要取消；但形式逻辑方法，也有不能取消的地方，例如：毕达哥拉斯定理的形式逻辑证明是需要的，只是需要把证明过程中使用的术语“点、直角、平行线、线段长”用理想几何元素依赖于现实几何元素的对立统一法则解释就行了。第四，文献[6] “§ 3.1 自然数的基数理论”的第8页说道：自然数列 1，2，3，4，……是无限可列集合的说法不恰当，需要改写为“是从小到大的可列而又列不到底的理想性无穷数列”；文献[8] 称它为可数无穷集合也是错误的，实际上。应当知道：只有有穷集合才可以说，它们是能数到底的，得到其集合的元素个数为自然数的真正可数集合；对无穷集合，需要说，它们都是可数而又数不到底的无穷集合。例如：现行教科书中称有理数集合是与其真自子集的自然数集合之间具有“一一对应关系”，且有共同基数 的可数集合的论述就是错误的。实际上有理数集合没有最小元素，虽然根据下文第4节有理数集合构造过程表，它是可列而又列不到底的无穷集合，但不能从小到大排成一列；虽然它与自然数集合之间具有“一一对应关系”，但这个一一对应的操作进行不到底，不能提出有理数集合与自然数集合之间有元素个数相等的元素个数都是 的可数集合结论；根据下文第4节实数集合构造过程表，说明：与有理数集合类似，实数集合也是可列而又列不到的无穷集合。
第五，希尔伯特提出的23个问题中第二个“实数系统的一致性”问题是形式逻辑无法解决的问题，根据数学理论是描述与研究现实数量大小及其关系的科学的认识，首先应当提出“现实数量的大小（包括现实线段、时段长度、角度大小）具有可变性、测不准性；但在相对性与暂时性的忽略微小误差的抽象方法下，可以认为：每一个现实数量都有确定的大小。因此，可以提出：现实数量大小（例如线段、时段长度、角度大小）的没有误差的绝对准表达符号叫做理想实数（简称为实数）；其中不能用有理数绝对准表达的理想实数都叫无理数（例如：π与 ）”的理想实数定义，然后根据希尔伯特认为可信性只存在于有限之中，而理想元素只是理性规定而已。这一点他与直觉主义是相通的，并将这一观点贯彻在元数学中的意见，使用 “理想实数是位数无限增多的十进小数为项无穷数列的趋向性极限”的无穷与有穷对立统一则去解决（具体叙述见下文第3节的，需要把“无尽小数为实数的定义”改写为“无尽小数为以有穷位十进小数为项的无穷数列的简写，这些数列的极限才是理想实数”）。这个解决方法说明“形式逻辑无法解决的实数一致性（即无矛盾性）问题，可以在理论依赖于实践现实的唯物辩证法下解决，即使用理论与实践一致的的方法解决”。
第六，文献[8]49页叙述的“闭区间[0,1] 是不可数”的定理10不成立，事实上，根据无穷次操作进行不到底的事实，不仅证明中使用的“无尽小数为实数的定义不成立”，而且证明中使用的 是不是等于5的判断是进行不到底的、不可判断问题，反证法不能用，他这个定理10不成立。 还可以进一步根据无尽小数是无穷数列简写以及下文第4节叙述的“实数集合构造过程”的事实指出：“闭区间[0,1]是有穷集合序列构造出来的可数而又数不到底的无穷集合”。事实上，无尽循环小数0.999……是理想实数1的近似值无穷数列0.9，0.99，0.999，……的简写，它不等于1，它的趋向性极限才是1；在准确到1位小数近似的意义下，区间[0,1]可以是0.0，0.1，，0.2，……0.9，1.0的11个十进小数真正可数集合；在准确到两位小数近似的意义下，区间[0,1]上的数还需要增加：0.01，，0.02，……0.99的90个十进小数，于是得到101个十进小数的真正可数集合；在准确到 三位小数近似的意义下，该需要增加0.001，，0.002，……，0.999，的900个十进小数，得到 1001个十进小数的真正可数集合；……，依次下去，可以得到一个位数无限增多的有尽位十进小数组成的有穷集合的无穷序列，虽然可以说：这个无穷序列的趋向性极限是无穷集合，但极限性无穷集合具有不能构造完毕的想象性质，只能说：这个极限是可数而又数不到底的无穷集合。对于笔者的这个说法，可能有人会反对说：“笔者的这个无穷集合里没有实数 ”，但根据现行的实数理论，这个实数是无尽小数0.318309886183790671537767526745……这个可数而又数不到底的无穷集合中有这个算不到底的无尽小数。总之，这就彻底消除了现行教科书中的“不可数（或不可列）无穷集合存在”的结论。康托尔不能提出无穷基数 ，也不能提出他的假设 ；这样就解决了文献[6]87页叙述的“到目前为止，人们还没有解决连续统问题，……，它仍是数学中一大难题”。这个大难题是希尔伯特1900年提出的23 个问题中的第一个问题。
第七，笔者还发现：文献[6]§1.3 对无穷集合数学归纳法的应用需要添加如下的注解。这个注解是：“当自然数n 能被写出时，推出n+1也能被写出之后，只能说任意有限自然数可以被写出，但不能得到全部自然数能够被写出的结论（因为这个结论违背了所有自然数无法被构造完毕的事实）”。所以“数学归纳法也有失效的地方”，根据这个事实，下文第六节，就消除了哥德巴赫猜想问题。
第八，对于文献[8]中叙述的罗素悖伦，由于罗素没有提出无穷集合是无法构成的非正常集合的概念，所以，文献[8]中使用概括性表达式 得出了“所有正常集合组成的集合是不是正常集合”是无法判断的罗素悖伦。现在，根据上述定义2与自然数集合的构造过程就说明：“正常集合有无穷多；以所有正常集合为元素组成的集合是元素个数为+∞的非正常集合”的概念，罗素悖论就不存在了。此外，根据无穷集合不能构造完毕的事实，康托尔无穷基数的术语不能提出，文献[8]48页中康托尔定理对无穷集合不成立，文献[8]59页说的“康托尔悖论”也是不存在的。我们不需要为消除这两个悖论去建立ZFC形式语言集合论。
第九，由于文献[10]（谢邦杰编著，《超穷数与超穷论法》）介绍了ZFC形式公理体系中选择公理应用中存在着使用选择公理的“分球奇论”与不用选择公理的许多"怪"定理，这也是ZFC形式公理体系中选择公理不能用的一个理由。
第十，收敛无穷级数和是其前n项和的无穷数列｛Sn｝的趋向性极限值实数S，无穷级数 u1+u2+……+un+……表示的无穷项加法运算无法进行到底，现行教科书中等式u1+u2+……+un+……=S也是概念混淆的错误等式，应当改写为 lim n→∞ Sn=S。即应当知道，无穷级数和达不到理想实数而只能取n足够大的Sn近似表示理想实数，这一点现代数学家不同意，但是，事实是违反不了的；现实数量问题研究中这种现象是跟多的，例如：例如在航天工程计算宇宙飞船落地地点不够精确时，可以在几平方或几十平方公里的范围内搜找飞船；木工可以采用锉子将工件锉小，采用加楔子的方法填充空隙。对于布劳威尔三分律反例，根据“这个无尽小数算不到底的性质，可以采用“表达圆周率的无尽小数只是圆周率的针对误差界序列 的全能近似实数的无穷数列中的足够多位十进位小数近似方法解决”的事实，这样就消除了这个反例（参看下文第二节）。
综上所述，希尔伯特提出的，以“有穷主义”为特征的现实数学（即构造性数学）是必须的，有用的；希尔伯特计划没有实现的原因，在于他没有使用理论与实践之间的唯物辩证法的对立统一法则；使用这个方法就能够解决涉及无穷集合的希尔伯特提出的23个问题第一、第二个问题。

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elim 发表于 2023-6-12 01:13
希尔伯特的有限性原则是相对与数学形式系统而言的。从无穷公理出发，遵循有限原则可以得到标准分析，非标准 ...

你证明了哥德巴赫猜想吗？你没有！我根据自然数集合、素数集合不能构造完毕的事实，提出了“以计算小于自然数A的偶数、奇数的做法替换对充分大的所有自然数哥德巴赫的猜想”是应该的，符合事实的。
你想否定我的论述，就应当拿出你的证明。

结束语
现行数学理论着许多形式逻辑造成的无法解决的问题，例如：1900年希尔伯特提出的23个问题的连续统假设与实数系统的一致性问题、三次数学危机与悖论、布劳威尔1908年提出的三分律反例、哥德巴赫猜想、罗素悖论、康托尔悖论等。这些问题说明：毛泽东在《矛盾论》中引用的恩格斯的话“高等数学的主要基础之一就是矛盾……”、“就是初等数学也充满着矛盾……”是正确的，也说明：希尔伯特计划中说的“由于无穷不能在经验中直接验证，故希尔伯特称之为理想元素”的做法是需要的。笔者对这些问题七十四年反复多次的研究后，根据马克思、恩格斯、毛泽东的论述，首先提出了，“数学理论的本质是描述与研究现实数量多少、大小及其关系的科学”特殊性；然后提出了 “实践不仅是数学理论的基础，而且还是检验数学理论的最终标准；数学理论的阐述，不能单靠形式逻辑，还需要使用：理论与实践、理想与现实、精确与近似、无限与有限、零与非零足够小、形与数、直与曲之间的对立统一、分工合作的唯物辩证法进行”的基本方法解决上述数学理论中这些问题。
具体说来，例如：笔者在第一节，抛弃了ZFC形式语言公理体系，从实践事实提出了 “忽略现实集合各个元素性质与大小差别的意义下的元素个数多少的表达符号叫做理想自然数”的定义1，从无穷集合依赖于个数无限增多的有穷序列的实践事实出发，提出了可以消除罗素悖论、康托尔无穷基数、康托尔悖论、的与自然数集合元素多少的定义2。在第二节，提出了“理想点与现实点之间的对立统一关系”，消除了第一次数学危机与布劳威尔反例。在第三节，提出了非形式性的理想实数定义与非形式的数列极限定义，讨论了施笃兹（Stolz）定理的应用与定理成立的条件问题，改善了柯西收敛原理的性质与证明，第四节，提出了有理数集合、实数集合、数轴、函数的构造过程与理想性。第五

Nicolas2050

你没资格对别人指手画脚，你自己在数学上毫无建树，你这样嚎叫有人听你的？不自量力，徒增笑料。

Nicolas2050

你一辈子搞数学没入门，搞政治也被毒打，一事无成。

Nicolas2050

己所不欲，勿施于人；活到100也这样。

金瑞生

对于数学靠瞎想没有用！最终靠成果说话！一句“写不到底”就想否定现代数学不仅是白日做梦！更不符合数学教授的身份！这种话出自一个不懂数学的农夫之口不奇怪，但出自你之口会让人笑掉大牙的！

金瑞生

任何一个实数都可以成为数列的极限，按照你的逻辑，全体实数都变成了数列性质的变数！真是可笑至极！

jzkyllcjl

金瑞生 发表于 2023-6-13 17:10
任何一个实数都可以成为数列的极限，按照你的逻辑，全体实数都变成了数列性质的变数！真是可笑至极！

第一，我不是你说的{想否定现代数学}，而是我在引言说的“数学理论是一个必要的理论，对这个理论需要根据 毛泽东《实践论》中的话“实践、认识，再实践、再认识，这种形式，循环往复以至无穷，而实践和认识之每一循环都比较地进到了高一级的程度”、 《矛盾论》中的“高等数学的主要基础之一就是矛盾……”、“就是初等数学也充满着矛盾……”、“一切事物中包含的矛我在盾方面的相互依赖和相互斗争，决定一切事物的生命，推动一切事物的发展。没有什么事物是不包含矛盾的，没有矛盾就没有世界” 的论述进行讨论。首先需要找出其中主要的矛盾及其解决意见。
第二，对于实数，我在第三节 首先讲了{根据前一节的讨论，不仅米尺的十等分点作不准，而且测量线段长度时，移动米尺的端点也无法绝对准标出，因此，线段长度具有测不准的性质。爱因斯坦根据量子力学的测不准原理，在文献[15]( 黄宏荃，彭 灏译，[苏]В.И.瑞德尼克著《量子力学史话》科学出版社，1979)提出过“任何计时器也不可能测出那样短的时间，例如一亿亿亿分之一秒；对长度来说也是如此，一厘米的一亿亿亿分之一也是测不出来的[12]”的论述是正确的。这说明：在表示角度、时段长、线段长度测量上，都有最小的度量单位，但是，在不同情况下，最小长度单位可以不同。例如在使用米尺的通常刻度时，可以取千分之一米作为最小长度的度量单位；在纳米技术下，可以取10的负九次方之一米作为最小长度单位。这时，使用0.3333333333米或0.3333333334 米表示三分一米就可以了。 虽然现实的线段与度量工具都具有热胀冷缩性质，度量工作中使用的点有大小，线段长度具有测不准性质，但在忽略足够小误差的意义下，可以说： “每一个现实线段都有确定的绝对准大小。线段长度的没有误差的绝对准表达符号叫做理想实数”的实数概念。至于现行的教科书中的康托尔、戴德金（R.Dedekind）的实数定义，以及《初等代数研究》教科书上册 87页提出了“称十进小数 为实数[6]]”的定义，都使用了“无限是完城了的整体”的违背事实的实无穷观点，都是错误的。应当根据“理想与现实、无限与有限的对立统一法则”提出如下的理想实数定义与公理。
定义5（理想实数的非形式化定义）： 现实数量的大小（包括现实线段、时段长度、角度大小）具有可变性、测不准性；但在相对性与暂时性的忽略微小误差的抽象方法下，可以认为：每一个现实数量都有确定的大小。因此，可以提出：现实数量大小（例如线段、时段长度、角度大小）的没有误差的绝对准表达符号叫做理想实数（简称为实数）。其中不能用有理数绝对准表达的理想实数都叫无理数（例如：π与根号2 ）。
}

elim

希尔伯特的有限性原则是相对与数学形式系统而言的。从无穷公理出发，遵循有限原则可以得到标准分析，非标准分析的所有貌似违反有限性原则的定理。

jzkyllcjl 打着有限性原则的幌子否定数学归纳法，哥猜等一系列数学重要定理, 工具和经典问题的行径，是无有成效的，他话该被人类数学抛弃。

金瑞生

jzkyllcjl 发表于 2023-6-14 08:46
第一，我不是你说的{想否定现代数学}，而是我在引言说的“数学理论是一个必要的理论，对这个理论需要根 ...

我不否认在数学的实际应用方面采用你刚才所讲的方法，但你必须停止对无限循环小数或不循环小数的攻击，停止以所谓的“不能写到底”为由否定数学归纳法的正确性，停止通过否定一一对应来否定可数无穷与不可数无穷等错误言论。用数学理论指导你的实践是对的！但你用自己的所谓实践来推翻数学理论是走错了方向！比如你可以在具体实践中用使用有大小的点，有粗细的线条等！但靠此来推翻数学基础理论就绝对的错误的！你现在的行为更像是农夫和工匠对数学的全盘否定！属于无知型的否定！