清一色数字中的素数和余因子

yangchuanju

清一色数中存在大量大素数
清一色数即是全由数字1组成的数字，11,111,1111，……
已知清一色数中存在有11个素数：2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, 5794777, 8177207（1的位数）；
其中最小的是11，最大的由8177207个1组成。
猜想：清一色数字之中存在无穷多个素数！

清一色数中除了少量素数外，亦有许多二合数，它们的素因子都是较大的素数：
11111=41×271
1111111=239×4649
11111111111<11>=21649×513239
11111111111111111<17>=2071723×5363222357<10>
11111111111111111111111111111111111111111111111<47>=35121409×316362908763458525001406154038726382279<39>
(10^211-1)/9<211>=6926245573...79<93>×1604204037...09<118>
(10^251-1)/9<251>=52371653×2121588774...87<243>
(10^311-1)/9<311>=4344673058...33<64>×2557410180...67<247>
(10^457-1)/9<457>=5437387×2043465199...53<450>
(10^461-1)/9<461>=792892858054693213<18>×1401338276...47<443>
(10^701-1)/9<701>=674363×1647645424...97<695>
(10^4201-1)/9<4201>=5975132176088831677<19>×1859559049...43<4182>
(10^4597-1)/9<4597>=49517362821841381162768425182671<32>×2243881838...41<4565>
(10^5059-1)/9<5059>=3308587×3358264755...53<5052>
上面的后3行均已被证明都是素数，大素数位数分别为4182,4565,5052位，继续下去其中一定有不少亿位大素数。

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指数是合数的清一色数字的余因子也往往都是一些大素数或大素数的乘积：
R3=111=3*37
R9=111111111=3^2*37*333667，余因子333667
R27=111111111111111111111111111<27>=3^3×37×757×333667×440334654777631<15>，余因子757*440334654777631<15>

R81=(10^81-1)/9<81>=3^4×37×163×757×9397×333667×2462401×440334654777631<15>×676421558270641<15>×130654897808007778425046117<27>，
余因子163×9397×2462401×676421558270641<15>×130654897808007778425046117<27>

R243=(10^243-1)/9<243>=3^5×37×163×757×9397×333667×2462401×440334654777631<15>×676421558270641<15>×411361786890737698932559<24>×130654897808007778425046117<27>×8103167186...13<138>，
余因子411361786890737698932559<24>×8103167186...13<138>

R729=(10^729-1)/9<729>=3^6×37×163×757×9397×313471×333667×2064529×2462401×386953775911<12>×440334654777631<15>×676421558270641<15>×411361786890737698932559<24>×130654897808007778425046117<27>×8103167186...13<138>×1331071238...83<463>，
余因子313471×2064529×386953775911<12>×1331071238...83<463>

R2187=(10^2187-1)/9<2187>=3^7×37×163×757×9397×313471×333667×2064529×2462401×2558791×4448359×127020961×934785037×386953775911<12>×440334654777631<15>×676421558270641<15>×163974865253839246186093<24>×411361786890737698932559<24>×27111518038109260459972693<26>×130654897808007778425046117<27>×8103167186...13<138>×1331071238...83<463>×5547864394...51<C1379>，
余因子2558791×4448359×127020961×934785037×163974865253839246186093<24>×27111518038109260459972693<26>×5547864394...51<C1379>

指数是3的倍数时，余因子总位数为指数3^n的2/3，其中不乏一些大素数！各个余因子都是指数3^n的2k倍再加1，例37=3*12+1,333667=9*37074+1,757=27*14+1，……

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R7=1111111=239×4649

R49=1111111111111111111111111111111111111111111111111<49>=239×4649×505885997×1976730144598190963568023014679333<34>，
余因子505885997×1976730144598190963568023014679333<34>

R343=(10^343-1)/9<343>=239×4649×505885997×1977439591<10>×62612348451548943616787<23>×7754637448036836493958053<25>×1976730144598190963568023014679333<34>×1081641825...51<90>×9629235556...51<148>，
余因子977439591<10>×62612348451548943616787<23>×7754637448036836493958053<25>×1081641825...51<90>×9629235556...51<148>
R2401=(10^2401-1)/9<2401>=239×4649×1051639×505885997×1977439591<10>×62612348451548943616787<23>×7754637448036836493958053<25>×1976730144598190963568023014679333<34>×1081641825...51<90>×9629235556...51<148>×9508966479...59<C2052>，
余因子1051639×9508966479...59<C2052>

R16807=(10^16807-1)/9<16807>=239×4649×168071×403369×1051639×505885997×1977439591<10>×62612348451548943616787<23>×7754637448036836493958053<25>×1976730144598190963568023014679333<34>×1081641825...51<90>×9629235556...51<148>×9508966479...59<C2052>×1475043056...99<C14396>，
余因子168071×403369×1475043056...99<C14396>

指数是7的倍数时，余因子总位数为指数7^n的6/7，其中不乏一些大素数！各个余因子都是指数7^n的2k倍再加1，例239=7*34+1，4649=7*664+1，505885997=49*10324204+1,……

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R5237已被完全分解，(10^5237-1)/9<5237>=345643×29747419163333<14>×13137300661025662591024039<26>×8225727009...71<5192>，第4素因子5192位
R5823已被完全分解，(10^5323-1)/9<5323>=1362689×8293659841<10>×89614919369<11>×1996494074161905281<19>×5494980776...51<5277>，第5素因子5277位

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R509是一个尚未找到任何素因子的最小的清一色数，请算一算找到它的最小素因子至多需试除多少次，需用多少时间！
R509的各个素因子都应该是1018k+1型素数，R509平方根内有多少个素数？
其中又有多少个1018k+1型素数？

509位清一色数的平方根255位，大约是3.3*10^254，
3.3*10^254/ln(3.3*10^254)=5.63*10^251——素数个数
粗略取1018k+1型素数为素数总个数的500分之一，试除次数至多要1.12*10^249次，
用每秒100万次普通计算机试除，小时3600*10^6次，年365*24*3.6*10^6=3.15*10^13次，尚需3.57*10^235年！
就算是235年，谁能等得到呢？

试除法对于这些大数字的判断和分解没有用处了，还是学一点先进的、现实的素数判断法和因子分解法吧！

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R2=11=11；11=2*5+1
R4=1111=11×101，余因子101；101=4*25=1
R8=11111111=11×73×101×137，余因子73*137=10001；73=8*9+1，137=8*17+1；10001=8*1250+1

R16=1111111111111111<16>=11×17×73×101×137×5882353，
余因子17*5882353=100000001；17=16*1+1，5882353=16*367647+1；100000001=16*6250000+1

R32=11111111111111111111111111111111<32>=11×17×73×101×137×353×449×641×1409×69857×5882353，
余因子353*449*641*1409*69857=10^16+1；353=32*11+1，449=32*14+1，641=32*20+1，1409=32*44+1，69857=32*2183+1；353*449=32*4953+1，353*449*641=32*3174893+1，353*449*1409=32*6978821+1，……

请注意——对于梅森数它的素因子都是2kp+1形式的数字（2^2-1=3=2*1+1除外），但对于R2^n形式的清一色数的余因子确是2^n*某正整数+1形式的数字！对于3^n、5^n、7^n等形式的奇数底清一色数仍是p^n*某偶数+1形式的数字。

(10^64-1)/9<64>=11×17×73×101×137×353×449×641×1409×19841×69857×976193×5882353×6187457×834427406578561<15>，
余因子19841*976193*6187457*834427406578561<15>

(10^128-1)/9<128>=11×17×73×101×137×353×449×641×1409×19841×69857×976193×5882353×6187457×1265011073<10>×834427406578561<15>×15343168188889137818369<23>×515217525265213267447869906815873<33>，
余因子1265011073<10>*15343168188889137818369<23>*515217525265213267447869906815873<33>

(10^256-1)/9<256>=11×17×73×101×137×257×353×449×641×1409×15361×19841×69857×453377×976193×5882353×6187457×1265011073<10>×834427406578561<15>×15343168188889137818369<23>×515217525265213267447869906815873<33>×5587118763...69<116>，
余因子257*15361*453377*5587118763...69<116>

(10^512-1)/9<512>=11×17×73×101×137×257×353×449×641×1409×10753×15361×19841×69857×453377×976193×5882353×6187457×8253953×1265011073<10>×9524994049<10>×73171503617<11>×834427406578561<15>×15343168188889137818369<23>×515217525265213267447869906815873<33>×5587118763...69<116>×1616596633...33<225>，
余因子10753*8253953*9524994049<10>*73171503617<11>*1616596633...33<225>

以下仅给出相关数字的余因子：
(10^1024-1)/9<1024>=1514497×302078977×3611707318387778163302401<25>×6051994595...29<C473>
(10^2048-1)/9<2048>=1856104284667693057<19>×315827195278624446663038977<27>×1567629031101501414376301131777<31>×1088190187...17<C950>
(10^4096-1)/9<4096>=106907803649<12>×3835256936681473<16>×9027276203313319937<19>×969220351349023606432543884535631873<36>×2787512819...13<C1967>
(10^8192-1)/9<8192>=458924033×728157653661622273<18>×50628372428722965086209<23>×5910712201...21<C4047>
(10^16384-1)/9<16384>=3635898263938497962802538435084289<34>×2750351982...09<C8159>
(10^32768-1)/9<32768>=1702047085242613845984907230501142529<37>×5875278120...69<C16348>
(10^65536-1)/9<65536>=65537×5767169×2645761938...17<C32757>
(10^131072-1)/9<131072>=8257537×1211014858...73<C65530>
(10^262144-1)/9<262144>=175636481×5693577975...21<C131064>
(10^524288-1)/9<524288>=639631361×1563400516...41<U262136>
(10^1048576-1)/9<1048576>=70254593×212733001729<12>×13462517317633<14>×4970088644...01<U524256>

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R10=1111111111<10>=11×41×271×9091
素因子11来自R2，素因子41×271来自R5，9091为R10除以R2、R5的余因子

R100=(10^100-1)/9<100>=11×41×101×251×271×3541×5051×9091×21401×25601×27961×60101×7019801×182521213001<12>×14103673319201<14>×78875943472201<14>×1680588011350901<16>
相对于R10的余因子是101×251×3541×5051×21401×25601×27961×60101×7019801×182521213001<12>×14103673319201<14>×78875943472201<14>×1680588011350901<16>，其中包含R20、R25、R50等的余因子

100含因子2,5,10及4,20,25,50，
相关余因子101来自R4，
3541*27961来自R20，
21401*25601*182521213001<12>来自R25，
251*5051*78875943472201<14>来自R50，
真正的R100的余因子是60101*7019801*14103673319201<14>*1680588011350901<16>

R1000=(10^1000-1)/9<1000>=11×41×73×101×137×251×271×401×751×1201×1601×3541×4001×5051×9091×21001×21401×24001×25601×27961×60101×76001×162251×1378001×1610501×1676321×7019801×1797655751<10>×5964848081<10>×10893295001<11>×182521213001<12>×14103673319201<14>×78875943472201<14>×176144543406001<15>×1680588011350901<16>×1296944190...01<72>×4205177580...01<74>×2694097928...51<81>×3288608250...01<92>×6209247929...01<94>×3023577677...01<390>
相对于R100的余因子24个是73×137×401×751×1201×1601×4001×21001×24001×76001×162251×1378001×1610501×1676321×1797655751<10>×5964848081<10>×10893295001<11>×176144543406001<15>×1296944190...01<72>×4205177580...01<74>×2694097928...51<81>×3288608250...01<92>×6209247929...01<94>×3023577677...01<390>

1000含因子2,5,10；4,20,25,50,100及8,40,125,200,250,500，
相关余因子73×137来自R8，
1676321×5964848081<10>来自R40，
751×1797655751<10>×176144543406001<15>×4205177580...01<74>来自R125，
401×1201×1601×1296944190...01<72>来自R200，
21001×162251×10893295001<11>×2694097928...51<81>来自R250，
4001×76001×1610501×3288608250...01<92>×6209247929...01<94>来自R500，
真正的R1000的余因子是24001×1378001×3023577677...01<390>

时空伴随者

R97=1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
=12004721×846035731396919233767211537899097169×109399846855370537540339266842070119107662296580348039

yangchuanju

清一色数字的素性判断和分解相当困难，大大超过梅森数的素性判断和分解；
因为对于梅森数有一些特定的判断法则和分解技巧，而清一色数字就没有。

特别是清一色数字的指数是素数时，更是难中之难！
要不R509至今无人找到它的任何素因子；
R353至今才找到两个小因子，下剩的328位余因子尚未分解到底！
(10^353-1)/9<353>=1781225293<10>*1044667255801249<16>*5971186761...23<C328>

yangchuanju

10的因子2,5,10；加上1为4个
100的因子个数2,5,10；4,20,25,50,100；加上1为9个
1000的因子个数2,5,10；4,20,25,50,100；8,40,125,200,250,500,1000；加上1为16个
10000的因子个数2,5,10；4,20,25,50,100；8,40,125,200,250,500,1000；16,80,400,625,1250,2000,2500,5000,10000；加上1为25个
100000的因子个数2,5,10；4,20,25,50,100；8,40,125,200,250,500,1000；16,80,400,625,1250,2000,2500,5000,10000；
32,160,800,3125,4000,6250,12500,20000,25000,50000,100000；加上1为36个
1000000的因子个数2,5,10；4,20,25,50,100；8,40,125,200,250,500,1000；16,80,400,625,1250,2000,2500,5000,10000；
32,160,800,3125,4000,6250,12500,20000,25000,50000,100000；
64,320,1600,8000,15625,31250,40000,62500,125000,200000,250000,500000,1000000；加上1为49个

二元合数因子个数表：                                               
1        5        25        125        625        3125        15625
2        10        50        250        1250        6250        31250
4        20        100        500        2500        12500        62500
8        40        200        1000        5000        25000        125000
16        80        400        2000        10000        50000        250000
32        160        800        4000        20000        100000        500000
64        320        1600        8000        40000        200000        1000000