正 ΔABC 中，D 是 AC 上一点，AD=2DC，过 A 作 BD 垂线，垂足为 F，求证：∠DFC=60°

uk702

如图，正△ABC，D 是 AC 上的三分点满足 AD=2DC，过 A 作 BD 的垂线于 F，求证：∠DFC=60°

数学小白新

luyuanhong

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ccmmjj126

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ccmmjj126

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王守恩

题目: 正 ΔABC,  D 是 AC 上一点,  AD=n(n=2,3,4,...)*DC,  过 A 作 BD 垂线,  垂足为 F,  求 ∠DFC=？

\(∠DAF=a,∠DBA=30+a,∠DBC=30-a,∠DFC=x\)

\(n=2:\ \frac{\sin(30-a)}{\sin(30+a)}*\frac{\sin(60-a)}{\sin(a)}*\frac{\sin(90-a-x)}{\sin(a+x-30)}=\frac{1}{2}*\frac{4}{1}*\frac{2}{4}\)
\(n=3:\ \frac{\sin(30-a)}{\sin(30+a)}*\frac{\sin(60-a)}{\sin(a)}*\frac{\sin(90-a-x)}{\sin(a+x-30)}=\frac{1}{3}*\frac{5}{2}*\frac{6}{5}\)
\(n=4:\ \frac{\sin(30-a)}{\sin(30+a)}*\frac{\sin(60-a)}{\sin(a)}*\frac{\sin(90-a-x)}{\sin(a+x-30)}=\frac{1}{4}*\frac{6}{3}*\frac{12}{6}\)
\(n=5:\ \frac{\sin(30-a)}{\sin(30+a)}*\frac{\sin(60-a)}{\sin(a)}*\frac{\sin(90-a-x)}{\sin(a+x-30)}=\frac{1}{5}*\frac{7}{4}*\frac{20}{7}\)
\(n=6:\ \frac{\sin(30-a)}{\sin(30+a)}*\frac{\sin(60-a)}{\sin(a)}*\frac{\sin(90-a-x)}{\sin(a+x-30)}=\frac{1}{6}*\frac{8}{5}*\frac{30}{8}\)
\(n=7:\ \frac{\sin(30-a)}{\sin(30+a)}*\frac{\sin(60-a)}{\sin(a)}*\frac{\sin(90-a-x)}{\sin(a+x-30)}=\frac{1}{7}*\frac{9}{6}*\frac{42}{9}\)
\(n=8:\ \frac{\sin(30-a)}{\sin(30+a)}*\frac{\sin(60-a)}{\sin(a)}*\frac{\sin(90-a-x)}{\sin(a+x-30)}=\frac{1}{8}*\frac{10}{7}*\frac{56}{10}\)
\(n=9:\ \frac{\sin(30-a)}{\sin(30+a)}*\frac{\sin(60-a)}{\sin(a)}*\frac{\sin(90-a-x)}{\sin(a+x-30)}=\frac{1}{9}*\frac{11}{8}*\frac{72}{11}\)
根据这些算式, 电脑可以出来x, 手工可以出来x吗？

王守恩

题目: 正 ΔABC,  D 是 AC 上一点, \(\frac{AD}{DC}=\frac{m}{n},(m≠n)\),  过 A 作 BD 垂线,  垂足为 F,  求 ∠DFC=？

\(∠DAF=a,∠DBA=30+a,∠DBC=30-a,∠DFC=x\)

\(\frac{\sin(30-a)}{\sin(30+a)}*\frac{\sin(60-a)}{\sin(a)}*\frac{\sin(90-a-x)}{\sin(a+x-30)}=\frac{n}{m}*\frac{m+2n}{m-n}*\frac{m(m-n)}{n(m+2n)}\)

根据这些算式, 电脑可以出来x, 手工可以出来x吗？

王守恩

同理: 直角等腰ΔABC,  D 是 AC 上一点, \(\frac{AD}{DC}=\frac{m}{n},(m≠n)\),  过 A 作 BD 垂线,  垂足为 F,  求 ∠DFC=？

\(∠DAF=a,∠DBA=45+a,∠DBC=45-a,∠DFC=x\)

\(\frac{\sin(45-a)}{\sin(45+a)}*\frac{\sin(45-a)}{\sin(a)}*\frac{\sin(90-a-x)}{\sin(a+x-45)}=\frac{n}{m}*\frac{n\sqrt{2}}{m-n}*\frac{m*(m-n)}{n*n\sqrt{2}}\)

根据这些算式, 电脑可以出来x, 手工可以出来x吗？

王守恩

同理: 顶角=120的等腰ΔABC,  D 是 AC 上一点, \(\frac{AD}{DC}=\frac{m}{n}\),  过 A 作 BD 垂线,  垂足为 F,  求 ∠DFC

\(∠DAF=a,∠DBA=60+a,∠DBC=60-a,∠DFC=x\)

\(\frac{\sin(60-a)}{\sin(60+a)}*\frac{\sin(30-a)}{\sin(a)}*\frac{\sin(90-a-x)}{\sin(a+x-60)}\)
\(=\frac{n}{m}*\frac{2n-m}{(m-n)\sqrt{3}}*\frac{m(m-n)\sqrt{3}}{n(2n-m)}\)

王守恩

求助: 顶角=45的等腰ΔABC,  D 是 AC 上一点, \(\frac{AD}{DC}=\frac{m}{n}\),  过 A 作 BD 垂线,  垂足为 F,  求 ∠DFC

\(∠DAF=a,∠DBA=22.5+a,∠DBC=22.5-a,∠DFC=x\)

\(\frac{\sin(22.5-a)}{\sin(22.5+a)}*\frac{\sin(67.5-a)}{\sin(a)}*\frac{\sin(90-a-x)}{\sin(a+x-22.5)}\)
\(=\frac{n}{m}*\frac{\sqrt{4n^2+2m^2+4nm+(2n^2+m^2+4nm)\sqrt{2}}}{m-n}*\frac{m(m-n)}{n\sqrt{4n^2+2m^2+4nm+(2n^2+m^2+4nm)\sqrt{2}}}\)

求助: 是这个东东？