是否存在一个函数式 f(nx) ，使得 f(nx)=x^n+1/x^n ?

fogking

是否存在一个函数式\(f\left( nx\right)\)，使得\(f\left( nx\right)=x^n+\frac{1}{x^n}\)？

luyuanhong

问  是否存在一个函数式 f(nx) ，使得 f(nx) = x^n+1/x^n ?

答 这样的函数是不可能存在的。

    例如，设 n = 2 ，x = 3 ，则有 f(6) = f(2×3) = 3^2+1/3^2 = 9+1/9 = 82/9 。

    另一方面，设 n = 3 ，x = 2 ，则有 f(6) = f(3×2) = 2^3+1/2^3 = 8+1/8 = 65/8 。

   因为 f(6) = 82/9 ≠ 65/8 = f(6) ，这就发生了矛盾，可见这样的函数是不存在的。

fogking

谢谢老师。我之所以提出问题，是因为我们发现了以下说法。
函数f(t)（不是常数函数）对所有实数都满足:
\[f\left( \alpha\right)\ge1{,}\ 2f\left( \alpha\right)f\left( \beta\right)=f\left( \alpha+\beta\right)+f\left( \alpha-\beta\right)\]
这时
\[x^n+\frac{1}{x^n}=2f\left( n\alpha\right)\]
我想知道是否可以以此作为提示得到一些关系式。