专访 Persi Diaconis 教授

luyuanhong

专访 Persi Diaconis 教授



策划：刘太平

访问：刘太平、黄启瑞

时间：2023 年 3 月 6 日

地点：中央研究院数学研究所

整理：编辑室

来源：《数学传播》2023 年第 47 卷第 2 期（186）

Persi Diaconis 教授 1945 年 1 月 31 日出生于纽约，1971 年获纽约社区大学学士学位，1972 年及 1974 年获哈佛大学硕士及博士学位。他曾任教哈佛大学，目前是斯坦福大学的数学系暨统计系教授。因他对掷硬币和扑克牌洗牌等方面的机率论做出了杰出贡献，他曾获颁诸多重大奖项，包括 MacArthur 奖（1982 年），并且是美国国家科学院院士（1995 年）。访谈中，读者将一睹他传奇的职业生涯和他独特的数学见解。

刘太平（以下简称刘）：欢迎来访，Persi 。你这么热诚，充满活力。很高兴你来！

Persi Diaconis（以下简称“D”）：我仍然深爱数学。

刘：这让我想起了一个故事。有次我在 Palo Alto 和 Louis Nirenberg [1] 共进午餐，他说他想退休。但他其实不必退休，所以我问他为什么要退休。他说：有这么多经典好书，但我从来没时间读它们。几年后，他退休了，我又问他：“你的好书读得如何？” 他说：没办法，我还在做数学。就以这作为开场白，我们可以开始了。

D：有你们两个好伙伴，真好，我很愉快。能见到启瑞，真是个惊喜; 很高兴见到你。

黄启瑞（以下简称黄）：谢谢。

D：当然，我们认识很久了。

黄：是的，我们认识很久，40 年了。从 1980 年代，应该是 1982 年至今。

刘：我有时会说：某某事在你出生之前发生。Persi ，你在这里，我就不能这么说了。

D：是的。我们同年龄，都是老家伙。但是有老的和老朽的 …… 你知道的，Joe Keller [2] ，我的意思是，他未曾老过。

刘：真高兴你能来，我们会操劳你的。

D：我会保护自己。

刘：话说这个系列，名为“许振荣讲座”。许教授是台湾首位做研究的数学家，在东北大学（Tohoku University）获得博士学位。他过世后，夫人捐赠了一笔资金，于是我们有了这个构想。中研院数学所非常乐意赞助，与中华民国数学会共襄盛举。中华民国数学会的会长应该会在你的第一个演讲做介绍。这系列讲座始自 2011 年，一开始我们请了几位日本学者，因为许振荣先生是从日本获得学位，我们有某种感念。深谷（Fukaya）[3] 是第一位演讲者。

D：深谷，目前在石溪（Stony Brook）？

刘：是的，石溪。

D：他近来有点争议性。我的意思是，有些人说：“这是错的”，然后他说：“不，不”。它的工作确实有争议; 非常抽象，我一无所知，但 Yasha Eliashberg [4] 认为他很杰出。现在 John Pardon [5] 正试图解决各个问题。

刘：原来如此。我们继续讨论一下这个话题，然后再回头谈谈你自己。Arnold [6] 在斯坦福大学时，确实提到了其中的一些，然后他说：“另一方面，Gromov [7] ，我不知道为什么，他永远是对的”。Arnold 就是这么说的。

D：我曾在公共场合和 Arnold 斗嘴。他做了 3 次演讲。我的演讲谈的是洗牌。这大概是 30 年前的事。我说：“虽然我的洗牌是和排列群（permutation group）相关，但它们适用于其他类型，也就是 Lie 理论：A 型、B 型、C 型、D 型”。所以，我說：“所有这些公式在一般类型也是正确的”。一个声音从这三百人的观众中传来，带着浓重的俄罗斯口音：“你的理论怎么看待 E8 ？” 我说：我不在乎 E8 ，因为它没有 n 。我不会让 n 趋近于无限，我不在乎”。那一个：没有自己的 E8 定理的人，不是数学家。我说：那人是谁？。他是 Arnold 。演讲之后，我走到他面前，试图与他结识，因为他是一个杰出的人物。他甚至不和我说话。我的意思是，我没有自己的定理。现在，我有一个关于 E8 的定理，但那是 30 年后的事了。他是个硬汉，Arnold 。

刘：非常硬。是的。但是，你知道，他在不同的环境中成长。

D：是的。但 Yasha 也出自那个环境。

刘：是的，是的。

D：Yasha，他是那么和善。

刘：我知道。

D：而且总是正面的。

刘：我想谈一件人们一直难以理解的事; 它已经成为关于 Persi Diaconis 的民间传说。那就是：你很小的时候就离开了家。

D：14 岁。

刘：14 。这么小的年纪。以我的成长经历来说，这非常奇妙：我出走了。然后怎么办？首先，我需要吃饭，需要睡觉等等，对吧？是的。那么，怎么办到的？

D：我是个认真的业余魔术师。小时候，你怀着我们现在无法重获的热情做事。那个时代，最会耍戏法的魔术师名叫 Dave Vernon 。他在我 13 岁时认识了我，那时我常在魔术商店里闲逛，老是旷课。我喜欢魔术。魔术师们会在周六会面，有一次他打电话给我说：“我要去 Delaware 州。你要来吗？” 我说：“要”。他说：“星期二两点在西边高速公路见”。就这样，我收拾好行李就走了，再也没有回家。我成为他的助手，再也没有回去。我们走遍了美国。他是一个表演者。实际上，他的年龄是我的 4 倍多; 我 14 岁，他大概是 68 岁。一直以来，有一个认真的业余魔术师组成的世界，你可以靠演讲为生，周游各个城市给演讲; 他通常就做这事。但有时他会办场表演，或在电视演出，而我是他的助手。我就是这样过活的。魔术师会互相照顾。这是一个非常和善的社群。没有什么坏事发生在我身上。有钱的家伙提供你住宿。我有奇妙的冒险经历。我绝不愿和世界任何人换行业的。而后他去了西岸，在洛杉矶开始经营所谓的魔术城堡（Magic Castle）; 它至今仍在那里。我 16 岁时回到纽约，在下东区找了一套公寓，月付约 18 美元，尽我所能以魔术为生。我不是大明星，但足以谋生。有时顺利。我去了香港，在希尔顿酒店表演，也去了南美。但也经常没事做。有时我去波士顿办场表演，之后住在剧场寄宿公寓，那里的人说：“喔，我们那边需要一位魔术师”。我就这样过活，直到 24 岁。而后我开始上大学，学校位在纽约。回首过往 10 年，当魔术师来养活自己的路程，真是美好。我在魔术界仍然有很好的朋友。某方面来说，那是一个有意思的世界。譬如，如果你去一个陌生的城市，你会打电话给一个你不认识的数学家说：“嘿，我是一个数学家。我在这个地区。我们能见面吗？” 你可能会，但大多数人不会。但是魔术师会如此，因为这是一个秘密社团，他们何其高兴能遇到可以交谈的人。有件事我尚未达成; 然而在这趟台湾之行，也许我会解决问题。我对魔术史非常感兴趣，中国魔术史是很隐密的。例如，中国著名的魔术技巧，有一项是连环（linking ring）。你有几个很大的环，原本它们是分开的，而后其中的几个连接在一起，对吧？这首次出现在西方时，正值中国军队、杂耍演员和一些东西在 1820 年左右来到西方。我也不知道它是从 1720 年，还是从 20 年开始出现在中国。我们不知道。没有人知道中国魔术的历史。台湾一定会有人知道，因为这里有认真的学者。此地，诸如中国科学史和中国数学史，都有非常谨慎的工作。譬如李约瑟。但是魔术史; 我非常努力地在台湾搜索，希望寻获认真的魔术学者，迄今都失败，至今如此。

刘：说到魔术，在四川，有一种魔术叫“变脸”，可以变换脸。只是个快速的动作，然后他们就变脸了。

D：我看过，太让人赞叹了。

刘：是的。而这是严格的职业机密，不对外透露，只传承给儿子、女婿或特殊人物。

D：我看过有人这样做，真是了不起。

刘：我不懂魔术。魔术的本质是什么？当然，对外人来说，这是魔术，做了一些违反物理定律的事情等等。但要如何成为技艺精湛的魔术师呢？你必须有敏感的手，或者你必须深入分析思考？

D：这很重要。但是，也有一些出色的表演者，不太擅长变戏法，但很会表演。他们可以一面伸手碰触脚灯，一面与人交谈，然后他们的助手就有了大箱子。我变戏法、花招（sleight of hand）; 这没那么容易。那么，魔术的定义是什么？ “看似违反自然法则？” 我的意思是，这是一种定义。我和 Ron Graham [8] 合写了一本关于数学和魔术的书，里面有很多关于魔术哲学的东西。一方面，要有一种张力; 因为当你表演时，就像任何戏剧一样，有一种叫做剧院魅力的东西，让你忘记戏院里有演员，而你成为故事的一部分; 它起了这种作用。不知怎地，即使是看电影时，我们也忘记了我们坐在电影院里。所以，魔术有这个面向，让人甘愿暂停怀疑。但是，你必须愚弄别人，否则你就只是叙事剧里的演员。但如果你一味愚弄别人，说：“现在，你看。注意我的手。我的袖子里什么都没有”。如果你只专注于愚弄人们，那么你就失去了剧院魅力。所以说，有一种张力。这就像一部好的推理小说; 它必须是好的写作并且吸引你; 喔，到底是谁干的？你必须反复思量，因为如果只是“这是一个上锁的房间”，如此等等，那么就没有故事，你看了也毫不在乎，对吧？如果只是故事，那就不是一部好的推理小说。这与魔术非常相似。优秀的表演者可以沿着山脊走动; 让你极想知道那是怎么回事，同时又让你感到欣喜。你感到惊讶，让表演者带着你走，到让你更加快乐的地方。没有那么多好的魔术师。却有很多很多不好的。

刘：这让我想到了数学教学。有时你在演讲中会说，“谁在乎（Who cares）？” 对吧？对我来说，这应该意味着，听起来很抽象的问题：数论，组合数学，概率论，实际上有一个非常直观的开始。

D：我总是这样认为的。

刘：是的。在我看来，你有这种神奇的能力，让人们觉得，“是的，这个数学问题，它是相当抽象的。但实际上，它可能和一些具体的，甚至是直觉的日常事物相关”。

D：嗯，这在算法中或许很重要，或者在科学计算、打好牌或实际的东西中很重要。应用数学方面也有同样的问题。我的意思是，可以真正应用的东西，不同于那些仅仅因为某人能力够、或因为有人认为它很美，而发展出理论的东西; 你知道两者之间的区别。后者没错，非常好。有很多很多成功的人在做数学，因为那些东西是美丽或有趣的; 50 年后，那些正好是我所需要的。但另一方面，也有很多胡扯抽象的东西。

刘：是的。它会被遗忘，但当人们需要它时，又会重新发现它。

D：是的。

刘：你如何，在过了一些年的魔术表演之后，对自己说：我对数学有这种发自内心深处的热爱？

D：不，不是这样单纯。是比这更有意思的故事。魔术师对狡诈的赌徒非常感兴趣，他们玩纸牌和掷硬币时小心翼翼地作弊。每当我的老导师到达一个新城市时，我们都会尝试结识那些狡诈的赌徒。你会认为这是不可能的。这完全不是不可能的。首先，你得知一个来自其他城市的名字，也知道狡诈的赌徒不能告诉任何人他们做了什么。因此，当有人对他们的作为感兴趣，并且不会泄露秘密时，他们会很高兴。我们总是寻找赌徒，不仅是狡诈的，有时还有那些变戏法之余还巧妙下注，借此来取得优势的人。有各种诡谲的赌注。掷一对骰子，你等到两个 7 出来，或者 6 和 8 出来。每个人都知道 7 是最可能的数字，所以如果我必须等到两个 7，或者 6 和 8，我会取两个 7 。这是不对的，因为它可以是 6 和 8 ，8 和 6 ，实际上直觉不一定对。在各种游戏中都有一些诡谲的赌注，我对那些赌注很感兴趣，而且我非常擅长弄清楚它们。我不是真的理解自己在做什么，但我会与人讨论并且学习。我问一个朋友：“有没有一本我可以读的机率书？” 他说，“有的，Feller 的书《机率论导论及其应用，第 1 卷（An Introduction to Probability Theory and Its Applications，Volume 1）》。这是最好的书”。所以我在 18 岁、17 岁左右买了一本。但我看不懂，因为我不会微积分。于是，我开始上大学，是为了学习怎么阅读 Feller [9] 。我会想学习，因为你翻个几页就感觉到：“哇，这很有趣”，即使你读不懂。Feller 会讲故事，让它变得有趣。书里有各种各样的应用及他的意见。他是一位非常优秀的作者。但是我不懂微积分，所以我不得不学习微积分。一个有趣的故事我可以告诉学生：我不知道上学意味着什么。我前三年的微积分成绩是 C 、C 和 D。而后我选修高等微积分，老师说：“你自己知道，你是个聪明人，但你必须学习”。我以为自己要做的就是去听课，然后就会能说“知道了”。他说：不。我要请你在考试中证明这些问题。你应该把它们写下来多练习”。我说：“喔，我从未如此”。我独自一人，没有导师，是这个人，Tony D'Aristotle [10] ，告诉我的。所以，我开始学习，喜欢它。我学了很多数学，我仍然喜欢它。当时是在社区学院（city college），纽约最大的免费学校，位于 Harlem 区中部的第 137 街。学数学的学生们坐在一张桌子旁。我没有家人。我的意思是，我离家出走。对我来说，这是一个社群，数学是一个社群。我们彼此喜欢，我们互相支持。如果有人遇到麻烦，你帮助他们。这是一个家庭，自昔至今一直是一个家庭。那是很久以前的事了，这是另一个我喜爱数学的理由。但是，我不得不考虑：再下去该怎么办？一开始我晚上去上课。在社区学院，你可以只选课，如果成绩及格，就可以换到白天上课。我没有高中文凭或任何东西，但他们让你选课，这还可行。就这样我喜欢上了数学。我选修实变，非常有趣。然后问题来了，我想去读研究所。我想，“好吧，我试试”。我申请了几所数学研究所，但有一所 ⋯ 我想去哈佛，因为我是个穷孩子，而哈佛就是哈佛; 就是：哇，哈佛。我的老师们拒绝写信去哈佛。他们说，社区学院从来没有人进入过哈佛数学系。那时他们的信都还是用手写的，我们不会写这信。我就这样申请了哈佛大学统计系，招生委员会里有一位认真的业余魔术师 Fred Mosteller [11] 。有一位帮我写信的人是 Martin Gardner [12] 。他写的信说：“我对数学一无所知，但在过去 10 年投注的 10 个最佳纸牌技巧中，这个孩子发明了其中的两个。你们应该给他一个机会”。Fred Mosteller 说：“我们给他一个机会”。所以，他们让我进入哈佛统计系，我想：“喔，我会转去数学，但我喜欢统计学。可以的”。你可以自称统计学家，然后去做任何事情，因为我就是个例子，对吧？这就是我过渡的方式。那段时间，我一直以魔术为生，因为我必须谋生。我还是个年轻小伙子。我不是大明星或什么人物。有时你赚一百美元，有时你赚 25 美元。我去了英格兰，担纲男子俱乐部的开场表演。他们会有一个歌手、一个喜剧演员，通常还会有一个脱衣舞娘，这是最主要的：一个脱衣舞娘，外加一个魔术师，对吧？我们每晚做三场演出，赚到 50 镑。那些人是我的朋友，他们仍然是我的朋友。我这样做了六个月，赚的钱不多，但是我生活、我冒险，非常的好。有一个非常活络的魔术社群，至今我仍和他们交流。

刘：在我看来，你善用了西方世界提供的自由。

D：是的。

刘：人们有正确的心态，会说：“我们给这个人一个机会”。

D：是的，譬如说法国，就不一样了; 离开 10 年后回来，非常非常困难。这里或许可能？如果你退出了体系？我不知道。可以吗？在台湾，有人可以这样起步吗？当然可以。你可以去社区大学。你可以 ……，但很难，对吧？这更难。在美国？好吧，它发生了。

刘：对你来说，它不仅仅是个地方。它是哈佛，提供一流的教育，对吧？但即使在社区学院，在你拿了 C 、C 、D 的成绩后，也有人对你说：“是的，你搞错了。身为学生，你需要做功课”，然后还是容许你继续求学。

D：我做了功课。我可以解题，但我不知道自己必须为考试而学习。就是如此。我从来没有想过。我只是觉得我很笨，没有能够看到这点。我以为只要坐在那里看就行了。

刘：我明白。事实上，需要更用功些才能熟练。

D：一旦我得知这个想法，情况就好转了。

刘：不过，仍然要有动机。你说，“好，我知道如何下注，每次都能占一点优势，确实是机率理论在帮我。我需要学习机率论。在此之前，我需要学习微积分。” 这是一个非常合乎逻辑的推理。

D：我有很好的老师。记得我第一次去上初等机率的课时，头一遭听到中心极限定理。这是一个相当大的班级，可能有 40 人。我打断了授课。说：“什么？真的？我的意思是，任何分布都归结到钟形曲线？” 我只是想：这真是太好了。我说：“那太好了”。老师没有修理我。他说：“是的，这很了不起。这是一个伟大的定理。一种普遍性的体现。” 他们很高兴。社区学院的老师想教普罗大众; 我的意思是，他们接纳来自不同背景的人; 如果有人闪现光点，老师就会去照亮他们，帮助他们。这非常好。

刘：是的。这些年来社区大学是否有些改变？

D：嗯，我在那里的期间，它已经开始改变了。社区学院的设置，曾经是为了那些想留在纽约的聪明年轻人。在我求学期间，首先是 1968 年，由于越战，街头发生骚乱，社区学院变了。有人说：“每个人都应该能够进入社区学院。但是有些人没有背景，譬如少数民族和其他人。因此，我们要改变结构。” 他们曾经有各种各样的大学部课程：实变、微分几何、偏微分方程，都删掉了。他们制作了一个分数加法和读比例尺的课程，让学生为就业做准备。这发生在我求学期间。呃，这真的很可怕，因为他们让所有人去教补救课程。现在情况好多了。当然，他们确实在教书，让任何想去的人有一个机会。此外，社区学院与城市大学（city university）不同。你知道，城市大学声誉卓著，非常斯文高雅。它们有非常优秀的数学家，做最好的抽象数学。那里的数学没有那么多的应用性。我们认识城市大学的应用数学家吗？我不认识任何在那里做实际应用的人。

黄：话说 Feller 的书，你觉得它对学生的学习有帮助吗？

D：我认为这是一本很了不起的书。我开始在哈佛教书时，想到了 Feller ; 这是一本很好的书。但是，当然，如果你想学机率，除了离散机率之外，还必须学习连续机率，对吧？所以我也需要……

黄：第 2 册。

D：第 2 册。对。我教大学部课程，指定第 1 册和第 2 册为教科书; 学生们来上课，他们很震惊。这也许是 1985 的事。但为什么 Wiley 从不降低价格，或制作廉价版的 Feller ⋯ 所以，每册是 200 美元。学生们问：“我们必须买这些书吗？” 它们是很了不起的书。我教过 Feller 。它们对学生来说很困难，水平略高，而且也充满错误。我的意思是，在段落层次来看，它很精彩。但在句子层面上，它经常是不对的。然后，在章节层面，他没有讲到 Martingale 。他有自己的看法。他的出身是偏微分方程。Feller 是一名分析学者。但关于什么是几率，什么是机率的核心，它有一种奇妙的风味。我不知道还有哪本书有这种风味。现在每个人都在教 Ross 的书 [13] ，这没关系，还不错。我上次在斯坦福大学教机率时，也是教 Feller 的书。这是一种有趣的教学方式，我的意思是，人们不知道的是，学生现在不懂分析。我意指的是什么样的分析？log(1-x)=-∑x^i/i ，或者如何进行估计。学生们不再学习这些了。但也许在应用数学或者数论中，他们会学到如何进行估计。但特别是美国研究生和大学生，并没有学会如何获得有用的上限和下限，从公式中得到数字。他们没有学到。Feller 的书到处有这些东西。这很重要。

黄：这是一本很难的书。我读了它，但不是整本书。而且习题非常困难。

D：是的，这是真的。这是一本很难的书。真是难。但这是哈佛和斯坦福，聪明的学生。这是一门成功的课程; 我是说，他们没有半途离开。他们离开的时刻，都是在我教了一些自己一无所知的东西时，譬如抽象代数、建物或更不堪的，这时班级很快就会缩减成 4 或 6 个学生。但 Feller 总是 …… 因为这是一本很精彩的书。我能让他们接触到 Feller，那就好。我做过类似的事情。你知道 Knuth [14] ，Don Knuth，伟大的 Don Knuth。他也写了很了不起的书，我用它们教组合数学，因为我想：或许我能让学生们接触 Knuth …… 我无法涵盖 700 页，但上次我教大学部组合学时，使用了第 4A 册，有排列、组合、集合分区、图形等等，应有尽有。它又用它们做出东西，真的用它们一起做出东西。它不只说，我们这样做是因为它有趣，或因为它很好玩。重要的是，如果我能教给学生们那些东西，让他们阅读 Knuth 其他的书，那就是给学生的一份礼物。虽然它们也是困难的书，但他在书后有习题的解答。好书无价。应该要有人列出好书的清单。

黄：Stirling 公式的逼近公式通常很粗糙。

D：是的。

黄：但我需要一些进阶的逼近公式。我在 Feller 的书中找到了。

D：告诉我们！我在课堂上教那个，两节课才做出 Stirling 公式 ⋯ 嗯，很好，我以前每堂课都这样做。对，如果你想找到 Stirling 公式非常好的上限和下限，Louis Gordon [15] 在《American Mathematical Monthly》 上有一篇精彩的文章 [16] , 有美丽、最佳的、有用的上限和下限。但是，当然，在 Abromowitz 和 Stegun 的书 [17] 中，你也可以找到一些，但 Louis 的更好，使用了 Gamma 随机变量的机率来证明。在组合数学中，通常满意于此：这里有一些序列，它们有一个生成函数，然后，瞧，我们可以写下右侧的封闭解（closed form），然后停下来。它是没用的！当 n 为 52 时，它说了些什么？n 为 100 时，它说了什么？Feller 解释了如何从公式中获得数字，这很有价值。我仍然尝试这样做。

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刘：来换个话题。回头看，你曾在剧院做魔术师、纸牌等等，但在职业生涯的后期，你又回到了洗牌等等。这和你当魔术师的时候稍有不同，对吧？

D：没有太大的不同。例如，这就是我如何第一次学到二进制数。我会解释的。魔术师和狡诈的赌徒可以完美地洗牌; 完美意味着你将它们精确地切成两半。你有（洗牌的声音）。1, 1, 1, ... 好。现在，为什么有趣呢？好吧，假设我在上面有 4 张王牌。如果我完美地洗一次牌，那么每隔两张它们会现身，对吧？每隔一张会出现。如果我洗两次牌，它们就是每隔四张会现身。如果我发牌给 4 位玩家，我就会拿到王牌，对吧？

刘：这是非常确定性的。

D：嗯，當然。这是完美的洗牌，但仍然 …… 我想我 13 岁时就学会了这个; 我在魔术店里闲逛，一个家伙从英国来访 …… 好的，有两种完美的洗牌。和我谈论洗牌就像和加州人谈论葡萄酒，你知道吗？你会听到 ……

刘：欲罢不能。

D：哦，不，不，我会停下来。所有两种完美的洗牌：in-shuffle ，最上面的牌去到内部; out-shuffle ，最上面的牌留在外面。它们稍有不同。那么，你能用这些做什么呢？假设我想将最上面的牌带到位置 6 ; 魔术师可能想把最上面的牌带到一个已知的位置。我了解到，如果你把最上面的牌带到位置 J ，你取 J 减去 1 并用二进制表示，然后如果你运作洗牌序列，其中 1 是 in-shuffle ，0 是 out-shuffle ，I-O-I-I-O ，你会把最上面的牌带到 J 的位置。这就是我对二进位数的了解。当孩子们对棒球或足球感兴趣时，他们会着迷，对吧？所以我痴迷于练习。例如，一副牌要恢复原状需要 8 次完美的洗牌，需要 8 次完美的 out-shuffle 。我学会那条漫长的路途。你洗牌，洗牌，直到他们回复原状。我意识到，如果你做任何重复的事情，卡片当然会回复原状。嗯，当你 13 岁，14 岁的时候，这是一个很大的发现，对吧？所以，即使它不是数学，仍然是数学，让我对数学有些感觉。我从研究所毕业时，我想：“我只是要成为一名数学家，统计学家，我不会告诉任何人和魔术有关的东西，因为他们只想谈论魔术的那些东西。我现在做的是数学。”后来，不知怎的，Ron Graham 和我想了解 in-shuffle 和 out-shuffle 能做出什么排列。如果开始时最上面有四张王牌，而你要发牌给五位玩家，能否在洗牌后让庄家拿到王牌？这是一个和对称群相关的数学问题。我无法回答很多这样的问题。似乎是在 1975 年，Don Knuth 教了一门课，联系教授们，说：“如果你有任何你感兴趣的非数值计算，我有一个满是年轻人的班级，我们可以尝试”。我说：“我想知道由 in-shuffle 和 out-shuffle 生成的群的阶是多少”。怎么做？好吧，你从排好的顺序开始，从 1 到 2 n ，然后你 in-shuffle 一次，接着 out-shuffle 一次，如此这般，持续运作，同时追踪排的顺序。假设它是 4 张牌或 10 张牌。他们开始这样运作并生成数据，而算法跑得非常慢。他们终于做了 52 张牌，在一台大机器上花费了一个小时的 CPU 时间。52 张牌的洗牌群（shuffle group）是什么？这在一台大型机器上，耗费了一个小时的 CPU 时间。但后来，我有了数据，可以猜到模式。而后 Ron Graham、群论学家 Bill Kantor [18] 和我合作，证明了这件事 [19] 。这是很难、很难的，是非常困难的群论。它上了纽约时报。我的底细被泄漏了。如果你看了《纽约时报》的头版 ……

刘：是的，我读了这篇文章 [20] 。

D：是的，“教授洗牌”。我怎么改变了志趣？我们这个领域的一位佼佼者是 Paul Lévy [21] 。初到斯坦福大学任教时，我经常去图书馆。当时 Lévy 的作品集已经出版，是 6 册法文。现在的我法文很差。当时更糟。我现在有法国妻子和法国小孩，所以法文有进步，但仍然一点也不好。当时我拿起一卷 Paul Lévy 的作品集，随机翻开，页面上出现完美洗牌的方程式。哎呀，Lévy 写了 10 篇关于完美洗牌的论文。他因病卧床一年，有兴趣知道何种排列可能发生。他写了 10 篇论文，魔术界没有人知道这件事，数学界也没有人知道。我知道这件事，我说：“啊，如果 Lévy 可以做，我也可以”。

刘：凡人都可以做。

D：是的，喔，不是。Lévy 是一位伟大的数学家。

刘：是的，有些人可以做。

D：有些人可以做，对。我想我来做应该也可以。这就是我何以会在斯坦福大学开始学习洗牌。这就是我何以回应了 Don Knuth 的征询。Don 还在做研究。他已经 85 岁了，仍然 ⋯ 他让人赞叹。Don Knuth 是一位伟大的作家，伟大的科学家，伟大的数学家，事实上，如果他愿意，他可以做出伟大的数学。他拿的是数学的博士。

刘：有一次，Don Knuth 在斯坦福给了一个演讲，你在听众席中，做了一些评论。我记得他在演讲开始时说：“今天的演讲会很短，因为我要讲的是拉马努金（Ramanujan）[22] 的一篇很短的文章，只有 3 页。” 但是，四十分钟后，他只讲了前半页。

D：每年圣诞节，他都会给“圣诞树讲座”，只给一个演讲。他的演讲何其好，人们至今仍记得 Don Knuth 是谁。听众有 150 人。老实说，他不是一个杰出的演讲者; 30 年来他都没再教书。但他仍然喜欢那些题材。上一次讲的是组合的东西：Baxter 排列 [23] 。

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刘：我们来谈通俗演讲。你在万圣节给演讲，是关于不可测集。

D：不可测集，是的。

刘：不可测集。你似乎把它和鬼魂联系起来，因为万圣节是关于鬼魂的，对吧？

D：还有怪物。那是怪物出没的时候。我教研究生机率时，不曾教到不可测集。这并不难，但也并非标准的题材，所以，在万圣节，我给了通俗演讲，谈不可测集，因为这是怪物出没的时候。人们来听。在倒数第 2 次，不是我最后一次，有个 12 岁的女孩和父亲要去听我的讲座。我站在门口，说：“你知道，这是数学课”。她看着我的眼睛说：“我想知道什么是不可测集”。上帝保佑你，好姐妹。真是太好了。

刘：这让我觉得你有办法读懂人类的情感。因为怪物是鬼或者其他什么的，对吧？不可测集是其中一员。

D：它是其中一员。如果没有选择公设（axiom of choice），就无法构建一个不可测集。我的意思是，你不能写下一个不可测集。你可以用英文描述解析集合，但不能用英文描述非 Borel 的集合，或是确实不可测的集合。

刘：但对理解可测集来说，这些东西不可或缺，因为我们被教育，觉得一切都是可测的。如果一切都是可测的，那么就没有必要提到“可测”这个词。

D：数学家大都不会对此深思熟虑，但斯坦福大学的 Grigori Mints 24 不同。他在哲学系，但他是数学家，是像 Brouwer 和 Bishop 那样的俄罗斯建构数学家。你可以和他谈谈，他对数学很感兴趣。有一次看他走来，我说：“嗨”，他也说：“嗨”。接着我说：“你还好吧？” 他说：“不”。我问：“怎么了？” 他说：“你怎么可能做数学？基础这么糟糕，怎么可能做数学？”这是发自内心的。我想，哎呀。你知道的？因为我们不关心基础，对吧？对我来说，一切都是有限的。但我曾和一些逻辑学家一起做研究，他们的思考扩及无穷大，但也只是第一个不可数基数（uncountable cardinal）。你可以假设单位区间中的每个集合都是可测的; 这与一些可测基数的存在相矛盾，但不抵触任何人类可以思考的东西。逻辑学家的研究扩及那里，那也是数学。如果你假设了这件事，那么它来自公设，但它无关乎任何你可以触及的东西。不，但如果有人要解决 P-NP ，那就是逻辑学家。那关乎数学语言的一些结构性的东西。每个人都对 Poincaré 猜想有意见，然后 Perelman [25] 解决了。在有人解决 P-NP 之前，大家都只是信口说空话。

刘：你离开哈佛，搬到斯坦福。这是两个不同的社会。

D：是的。

刘：可以评论一下吗？

D：当然。首先，我为什么离开斯坦福，搬到哈佛？起初我在斯坦福大学统计系，经常去数学系参加研讨会。我 1974 年开始在斯坦福大学工作，大约在 1980 年离开。当时数学系对应用数学非常敌视。他们把电脑科学扔出去，又和统计学切割。你们可能认识的钟开莱 [26] 。他曾经在研讨会上大喊：“哦，Persi ，你又来假扮数学家了”。少量的点点滴滴就会产生宏大的效应，对吧？还有些老家伙，分析学者，十分多疑。他们对应用数学很不友善，对我尤其如此。我在做数学，我有机会去哈佛数学系，他们真的很想要我去，所以我去了哈佛，史丹佛数学系。他们不想和机率学者交谈。好的。Sam Karlin [27] 对我很好，这有点出乎意料。他很有趣 …… 你认识 Sam 吗？

刘：是的。生物学界的人把他当成自己人。他做生物，而不仅仅是生物学中的某种数学模型。

D：他们何其爱用他的算法去搜索 DNA 序列。他非常受人尊敬。他是个好数学家。他在我背后对我很好，而不像大多数人，只在你面前对你很好。Sam 在我背后对我很好。但我何时才可藉由某个问题打动他？他写了一本关于全正值（total positivity）的书，难以阅读。我有一些问题。我知道它在书中的某个地方。所以，我說：“Sam ，看。你能不能，你知道，我有这个问题。” Sam 说：“喔，这太微不足道了。而且，我已经做出来了。你为什么对此感兴趣？” 我从来没有从他那里得到过有用的答案。但我真的很尊敬他，但他不会坐下来听我讲，和我进行科学对话。但那只是 20 年时光。所以我真的离开了斯坦福，因为数学系很封闭。现在这是一个完全不同的系所。他们真的非常友善，好人。有一些非常好的人。

刘：斯坦福早年在古典分析方面很强，对吧？

D：是的，有 Schiffer [28] , Paul Cohen [29] , Szego [30] 等。我刚到斯坦福时，去听了 Pólya [31] 讲课。这是一个精彩的故事，所以我要讲一下。Pólya 当时 81 岁，有人劝他开个组合数学的课。课堂有 100 人。Pólya 是个迷人的老家伙。他 81 岁了。第一堂课时，他在一个 3 × 3 的正方形上，写了 Abracadabra [32] 这个字。他说：“这里有一个问题要问你”。他说：“在这个正方形上有多少种方法可以写出‘Abracadabra’？” 他说：“有多少人认为方法数介于 50 到 500 之间？” 有些人举起了手。然后，他说：“有多少人认为介于 500 到 5000 之间？”更多的人。 “有多少人认为大于 5000 ？” 然后，他看着观众說：“你认为所有问题最好都用选票多寡来回答吗？” 这真是太精彩了。他的课堂充满这样的事情; 有一些很好的故事是他之前讲过的，但很精彩。当然他早就从数学系退休了。我不会指名道姓，但有人非常非常讨厌我。我在哈佛时，是在数学系，统计系不想和我说话。好吧，我去了。我在那里待了将近 15 年后，遇到了我的妻子，她是法国统计学家。我们必须找到两份工作。哈佛不感兴趣。我们试了一下麻省理工学院，也试过康乃尔。接着我打电话给斯坦福大学，Iain Johnstone [33] 说：“我们会解决这个问题”。他们为我们打造了 2 份工作。这就是我搬回来的原因。我一半在统计系、一半在数学系，我非常满意。她也喜欢她的工作。这就是我搬家的真实故事。我不得不找 2 份工作。我有一个我在乎的妻子。

刘：当时在哈佛是谁要你去的？

D: David Mumford [34] 和 Barry Mazur 35 。

刘：Mumford 当时在做应用数学？

D：是的，没错。Mumford 想学机率，希望有人和他交谈，Barry 是我的朋友兼粉丝。我在哈佛大学统计系获得了博士学位，但我选修过很多数学。对我来说，最温暖的一个时刻，是我毕业时，两位数学家 Barry Mazur 和 Lynn Loomis[36] 带我出去吃午饭，他们说："看，你可以做数学，我们不想失去你。你应该申请博士后。” 我去了斯坦福，但我在哈佛有数学界的朋友：David Mumford 和 Barry Mazur 。当时组合数学已经是大家认可实在的领域。他们还想要一些机率。这是一个很小的系所，哈佛系所。只有 13 名终身职教授。

黄：David 告诉我，他从你那里学会了机率。

D：是的。

黄：我问他：你怎么学的 …… 他明白地说，是向你学的。

D：他的做法是正确的。他旁听大学部课程，接着旁听研究所课程。而后他教大学部课程。真正以我们的方式学习机率的数学家，David Mumford 是我认识的唯一一位。一般人学习机率，就说：这是一个可测量的函数。但他确实学会了真正的机率。我尝试过; 50 年来，我一直试图教数学家机率，但机率太难学了。这就像自学，或者教数学家物理。如果你在大学时没有用心学过，就难了。我们知道 Hilbert 空间是什么，但对量子力学有感觉吗？它完全是另一回事。如果你以那种方式开始，那就太好了。但是，你知道，很少有数学家真正在谈论物理学或机率。我猜想，俄罗斯人在大学时就学会了机率，他们真的学会了。

刘：他们在高中时就已经被拔尖出来了，对吧？

D：对。还有 Kolmogorov [37] 。机率融入了文化、数学文化。但是美国人 ……

刘：要为美国教育体系辩护，我知道可能不是那么容易。有一次，Arnold 一如往常行事，我说：“既然你和我此刻都在美国，美国一定有什么东西是正确的”。美国的人才比较分散，对吧？在俄罗斯，有如此密集的优秀人才。但在美国，你最终进入了数学学术圈，是一个好例子。

D：你可以来自美国的任何地方，但比较困难。1986 年，当我开始在哈佛大学任教时，伟大的 David Kazhdan 38 说：“你能给一个演讲，谈谈什么是随机变量吗？”我说：“David ，你知道，随机变量是一个可测函数。他看着我说，对你来说不止如此，应该另有意涵。他是对的。所以，我做了这样一个演讲，试图解释 …… 但是唯一曾学会的人是 David Mumford 。他很特别。他依旧很特别。

刘：机率很难。

D：是的，但你学会了。

刘：我在斯坦福大学教了几个学季的机率，因为我下定决心，虽然不想成为一个机率学家，但我想了解几率。

D：你教得很好。大家都这么说，我们有去探听。这是一个很好的课程。

刘：我花了很长时间，才了解一个非常困难的东西：Bayesian 。对我来说它非常深奥。你对这个领域有些感觉。

D：是的，謝謝。我想知道，台湾有 Bayesian 吗？我想没有那么多。

黄：我不知道。

D：如果有的话，你应该会知道。我想为数甚少。

黄：是的，你或许知道，我有两篇统计学的论文，可算是众所周知的长篇论文，但我仍要说我不了解统计学。统计学非常不同，就像自然科学。虽然我写了两篇统计学的好论文，但是我对统计学并没有感觉。

D：但 Grenander [39] 是 Bayesian 。Gehman [40] 是 Bayesian 。你知道，布朗大学数学系相当Bayesian 。你逃跑了。

刘：我在 2000 年回到台湾时，开始了这系列专访，标题名为“有朋自远方来”，引用了孔子的话。在他的《论语》的开头，他说：“有朋自远方来，不亦乐乎？” 现在你说你不了解统计学。有一句著名的孔子名言说：“知之为知之，不知为不知，是知也。” , 但很多人甚至不知道自己并不知道。

D：对。那是非常 …… 我不知道那是孔子说的。

刘：知之为知之，不知为不知，是知也。

D：你在学校和那些谚语一起长大。

刘：是的。孔子其实尚可。只是因为要读这些才能通过入学考试，所以我们不喜欢它。但平心而论，他很不错。

D：他很好。你知道我写了一篇关于《易经》的论文吗？你怎么发音？

黄：易经。

D：孔子写过评论。早期对《易经》的注解有些可以追溯到孔子。我想简短说明一下我做了什么; 我的意思是，我如何写成那篇关于《易经》的论文。部分的《易经》需要你生成随机模式。传统上，你有 49 根蓍草，把它们分成 2 组，而后拿掉 4 根，于是蓍草有了相当复杂的随机分布。现今人们改用硬币来做，我证明两者产生的分布是不同的，确实相异。现代人入门的分布与古人不同。要证明它们不同，我需要制作一个模型，用它来随机分割一堆棒子。假设你有 49 根蓍草，像这样把它们分成两组。我想对此做一个数学模型。Laplace 说，“嗯，均匀分布”。但这是不对的。我的意思是，它较常接近 1/2 ，不是均匀的。好吧，二项式分布不是那么糟，因为每根棒子都有一半时间往左或往右移动。我证明的是，你所做的分布假设并不重要，它会被抵销掉。实际上，这是一个 Tauberian 定理，是一个很好的定理。而我之所以会研究《易经》，是因为要了解机率的历史; 它确实是 1650 年从 Pascal 和费马（Fermat）开始的吗？人们赌博 …… 你知道，罗马士兵用骰子赌基督的衣服。但是没有关于《易经》的定量思考记录。《易经》是谁设计出来的？它早就知道一些组合学了。这是一个非常复杂的仪式，但一切是平衡的，实线和虚线出现的可能性相同。有人曾知道一些事情。这很有趣，所以我写了关于《易经》的论文。我在嬉皮的年代长大，当年很多人习惯用易经来决定是否出门喝咖啡。现在我想人们在电脑上做决定，对吧？你必须看看电脑用了什么算法，用它生成了随机模式。我还没有这样看。无论如何，你可以从任何事情中得出机率。这是我的感觉。但有趣的是，人们使用这本书的方式，与传统方式之间的差异，不在小数点后三位。它位于小数点后第一位。这确实很不同，这是有趣的部分。我看到你有一个问题清单。

黄：太严肃的问题。不管它。

刘：不。给我们一些问题。我们需要严肃的事情。请说。

黄：话说现在的线上教学，您如何看待它对数学的影响？

D：有什么影响？这和我们一起在房间里不一样，也和在 Zoom 上见面不同。我不知道原因。它比电话好多了。疫情开始时，我在葡萄牙，在 Zoom 上授课 …… 它不是很好，但它现成可用。现在，大班级，任何大班级，有时一个 500 人的班级，他们都被录影了，学生可以在他们想看的时候观看。但它肯定效果是不同的。在现场课堂上，我呼唤学生。你可以看到他们是否在微笑、阅读报纸、使用手机。你可以查看自己的讲课效果如何。这就像一个演员，在剧院现场演出。你参与其中，你付出了你的精力和注意力，这让教授与众不同，对吧？这不同于看电视。这有点微妙，并不太糟，也许我们会更加善用它。在疫情肆虐期间，这像是天赐之物。我不知道此地是否如此，但我们在所有系所都看到了这情况，尤其是数学系：大一新生不懂高中数学，因为疫情而损失了一两年。他们自学，在 Zoom 上学习。那是不一样的，真的不一样，你可以涵盖的教材料减少了  20% 。在聪明学生的课堂，他们不认识二项式公式。我们的 Math 63 ，是要开给超级聪明的学生，但即使是超级聪明的学生，也不会藉由二项式展开 (a+b)^n 的系数，也不知道各种基本的东西。这证明了一些事情：线上教学的成效是不一样的。但我不是教育专家。总之我不喜欢它。而且，我几乎不发送电子邮件。我的妻子是专家; 她被困在葡萄牙，而我在家，我必须弄清楚 Zoom 。我有一个 iPad 、电脑和一部手机。我给她看那些按钮; 她对我尖叫，不要那样做，不要。所以或许我不是回答这个问题的最佳人选。

刘：我有一个研讨会，每周四上午 10 点至下午 1 点，进行 3 小时。我人在斯坦福时也照常如此; 那里是晚上。每周大约 15 到 20 人参加。实际情况是，有些人会进行少许互动，但为数甚少。其他人只是被动地坐在那里听。

D：他们甚至不露面，很多人根本见不到脸。

刘：对，对。事实上，大多数人如此。因此你几乎可以得出一个结论：它的成效不是最为理想。

D：不是。但总比没有好。聊胜于无。我要求他们露面。我说没有人能让你这样做，但我们在一起。你露个脸，让我们知道有其他人在场。你愿意现身吗？”

刘：可以这么说，你在天上人间往返。现在你谈到了《易经》。你似乎一直在学习。你如何学到这么多东西。

D：我能够如此，是因为我喜欢学习新事物。我能够解决问题的原因在此。我总会先问：“怎么可以让你着手解决问题？” 对我来说，如果这意味着我必须学习一些新的数学，那几乎保证了我会希望去学它们。接着我会努力以赴。对我来说，数学也很有社交性。你问我一个问题，与我在互联网等等地方阅读问题，是非常不同的。而后我们可以互相交谈，这也许会让你更快乐，也许会让你对我有好的评价。对我来说，在数学的互动中，人的角色非常重要。而且，如果我和某些人一起工作，他们知道某个东西，我就可以从他们那里学到它，或是学会其它的。这就是我如何学会了几乎所有东西; 不是从书本上，而是从某某人那里。这是我们真正学习事物的方式，对吧？David Freedman 41 教过我。我去哈佛读统计学研究所，当时没有研究所的机率课程。我从来没有上过研究所的机率课。我写了博士论文。我到斯坦福时，David Freedman 在柏克莱，我们开始一起研究一个问题，他说：“不，不，做这个”。他就地教我机率，喝了超过 500 杯咖啡。这是很好的学习方式，对吧？对我来说，这也许是唯一的学习方式。我试过了 …… 我在斯坦福大学有 3 个办公室：一个在数学系，一个在统计学系，一个在 Bytes 咖啡店。我大半时间待在 Bytes 咖啡店，和我的学生一起喝咖啡和涂鸦。很高兴你仍在举办研讨会。

黄：关于统计，我有几个问题：现今，高维数据盛行，大数据是另一个议题，它们是很不同的 ……

D：是啊！但是它们已经发展出来，而且占据优势。

黄：这就是问题所在，有些东西尽管占据优势，但很难总结成观点或归纳成理论。

D：对，我同意。首先，机器学习和大数据已经占据优势，无所不在了，最好的围棋程序 AlphaZero 和最好的西洋棋程序 MuZero 就是例子。机器学习和大数据的理论产生出许多具挑战性的数学问题。我认为有新的数学问题很好，但有些已经超越我的经验范畴，这是下个世代所面临的挑战。如果我的统计学生想要研究机器学习和大数据，我会尝试安排他们和从事相关研究的人合作。这要非常密集地使用电脑，但我不是这类型的人。我还是研究生时，如果不学习如何写程序，就无法获得统计博士的学位，但那是很久以前的事了。机器学习和大数据已经占据优势，虽然我和新时代有点距离，我还是有以下几点要说。生活中还是有很多资料分析涉及小数据，除了常识，还需要古典统计，这些小数据不是从网络上收集的。譬如一个医生要比较两个病人，或者比较某十个病人和另外十个病人，所涉及的统计数据就不是所谓的大数据了。有些人正在进行有趣的工作，我也正在尝试和研究，并且与编写 AlphaZero 和 MuZero 的团队 DeepMind 讨论。DeepMind 编写了最好的围棋程序和最好的象棋游戏程序，之后被 Google 购并。我每周一次和那里的人讨论，如何让电脑学习玩接龙。你知道七堆纸牌的接龙游戏吗？我们这行有个笑话：我们不知道接龙游戏的获胜机率。在拉斯维加斯，你可以花 52 美元买一副牌，你从打出去的牌每张得到 5 美元。这是一场公平的游戏吗？这取决于规则。微软的规则是，你可以分拆游戏，一次发三张牌。改变规则会改变赔率吗？当然，这也关乎「谁在玩纸牌」。它并非定义严谨。那么电脑玩接龙能表现得多好？我正在研究这个问题。我学到的一件事是，毫无疑问地，如果他们真的感兴趣，如果他们让一个由 30 名工程师组成团队来解决这个问题，在 6 个月内，他们会有些可以展示的成果，但是你看看他们推销成果的方式。你可以把你的问题输入到 MuZero 中，这个程序甚至不需要知道规则，立即就开始与自己对玩。荒唐，它根本不行。我有三名工程师，他们试图将纸牌放入 MuZero 。没用的，它没有给出任何明智的东西。有了大数据，或许可以从中得到一些合理东西。当然，我做的研究不是这个，我也不懂大数据，大数据已发展出了自己的语言。如果你是一个只受过古典训练的统计学家，试图阅读现今的机器学习文献，这会是十分困难的。我的意思是，这一切都在它自己的形象中 …… 如果你试图挑选一些问题并试图证明它，可能六个月后，它已经完全过时了，没有人在关注这个议题了，何苦？机器学习正以非常非常快的速度蓬勃发展，它是一个健康的领域，就此存在，我的很多同事都试图把它和数学结合起来。在机器学习，难以理解的一件事是大数据的过度拟合（overfitting）。也就是说，在古典统计学中我们知道：如果你有 100 个参数和 50 个数据点，那么，你可以拟合任何东西，你可以找出一个通过所有数据点的多项式。但不知何故，在机器学习或深度学习上情况不是那么简单。如果你极过度拟合，它反而会变得有用，并做出很好的预测，这是非常难以理解的。人们正试图打造数学和玩具问题（toy problem）去理解此现象。我想这就是我们在做的，对吧？我们制作玩具问题，然后试图去证明某件事。应用者会嘲笑我们，因为我们分析的模型，与他们真正做的事情，相去甚远。彼此之间是有紧张的关系。但我认为它们是很不错的数学问题。在被解决、被定位前，我都会质疑：是否存在它们的位置。让我解释一下。如果你找 30 个计算机科学博士或物理学博士，给他们 3000 万美元，以及他们想要的所有计算和一个特定的问题，我不会质疑他们会做出些成果，而且会是有用、有趣的东西。但是，如果你给另外 30 个人同样的特定问题与资源，他们会做一些完全不同的东西。那么，那里有个主题吗？还是都只是因时制宜（ad hoc）的？在我看来，它非常非常善变，欠缺定论。有一门学科叫做深度学习（deep learning），但我并不了解。我的意思是，我可以把简单的神经网络模型抽象成数学问题，但他们实际做的，是因时制宜的，原创性很高，勇气十足; 他们做的是很艰苦的工作，我不想争论这个，只是到了下周，一切又成了另一回事。那么，你如何能抓住它呢？我们如何证明它？而且，这是非常糟糕的科学，也就是说，首先，它有专利，他们不让你看到程式代码。他们向你展示成功的故事，但不透露失败的故事。

刘：他们就像算命的人。

D：是的，没错。但是，另一方面，也有成功的故事。他们有精彩的成功故事。算命的人当然有时也会这样; 特别是如果他们能看到你，并且能对你的反应做出回应，他们也可以做得很好。但这是一个棘手的领域。幸运的是，我们仍然可以解决一些简单的问题。譬如蒙地卡罗模拟（Monte Carlo simulation），你可以看看人们实际用它来做什么。实际使用量最大的一大套程式是 “Stan”，在美国开发的，来自纽约的 Flatiron Simons 研究所。这是 Hamiltonian 蒙地卡罗，但有各种各样的花里胡哨。如果你看到它们针对问题实际做了什么，就不会用数学来捉摸它。即使你考虑 Metropolis 算法的任何实际应用，一个实际的东西，不是玩具，是实际的，但要尝试证明一些关于它的东西，还是相当艰难。我不知道该怎么做。我在研究。有希望。你对这做了一些研究，我也是。但它仍然是在清理过的模型（cleaned-up model）。现在有了 Ising 模型，很能诠释; 但它们在更复杂的情况下使用它，数学难以捉摸。

luyuanhong

刘：我想到一件事。在经历了这一切之后，你的父母对你有什么看法？

D：首先，我的父母早已辞世。我 14 岁离开家后，一生中又见过他们两次，而且是在不太好的状况。我认为他们不知道我在做什么。他们有自己的问题。我在一个多事的家庭长大，很多人住院，而且精神有问题。我想我的父母从来没有真正理解过我 …… 首先，他们在我成为教授之前就去世了，所以 …… 但他们确实知道我上了研究所而且拿到博士学位，但我没有和他们交谈。我们没有对话。这是一个非常不幸福的家庭。我不想与它有任何关系，我也没有。

刘：从东方人的心态来看，我会说，他们的确没有看到你的成功，但你上研究所是 ……

D：是件真实的事。

刘：是的，这必定让他们觉得很好。

D：我希望如此。我的意思是，我不知道。但我真的是一个非常不守纪律的孩子，也许直到上大学，也许快上研究所。有一次，我在加州大学圣地亚哥分校做演讲，教务长是一位女士，是我六年级的同学，她必须介绍演讲者和这个“某某”讲座。她说：“不可能是 Persi Diaconis 。他不可能完成学业，不会是成功人士。”她介绍我时，做了一个标准规格的演讲，而我讲了那个故事。我说：“现在，玛莎，你知道，我记得 …… ”

刘：她说不出话。

D：嗯，我很烂，嗯，我不是一个烂孩子，我只是 …… 我变魔术，在学校不专心，不做作业。他们一直推着我往前走，说：“你是个聪明的孩子。你在这里很无聊。好吧，我们跳级。”所以 …… 无论如何，它有成果。

刘：是的，这是一个美好的故事。对许多人来说，也是非常令人鼓舞的故事。

D：应该是。但是，如果你有个孩子 14 岁时离家出走，你恐怕不会开心。

刘：是的。

D：但未曾有坏事发生在我身上。你认为我是逃家的魔术师，但是 …… .

刘：是的，我担心你将如何吃饭和过活。

D：我没办法，但我有我的导师，而且魔术师社群真的很会照顾人。但我没有任何办法赚钱。

刘：是的。之后你来到这个数学社群，也不错。

D：不错，不错。它比许多其他社群温和许多。我的意思是，看看他们如何照顾 John Nash [42] 。你知道吗？我们甚至容忍了 Finn [43] ，对吧？

刘：大家很高兴我愿意和他共享办公室。Bob Finn 很有趣，不是在通常的意义下，但是很有趣。钟开莱又是如何？

D：他曾經告訴我：“需要被人喜欢的美国病，我没有染上”。

刘：我明白。

黄：他得罪了很多人，即使在机率界。

D：是的。他不遗余力地冒犯人。他喜欢 …… 他是，他 …… 太糟糕了，因为他是一个认真的好人，我的意思是，我本来可以从他身上学到很多东西，但他就是 ……  我走在路上一眼看出他是谁，然后就躲开了。如你所知，他几乎全盲。所以，当我看到他走过来的时候，我会走另一条路。但他并不是真的全盲，所以他会说，“Persi，是你吗？你在躲着我吗？” 我继续往前走。你认识他吗？你见过钟开莱吗？

黄：两次，他以前是我师祖 Cramér [44] 的学生。

D：我明白了。我不知道这件事。

黄：实际上，Cramér 没能在瑞典拿到驾驶执照。但 1940 年代，他访问普林斯顿时，钟开莱教他如何开车。这太疯狂了，因为钟开莱的视力很差。

D：很好，非常好，太疯狂了。

黄：Grenander 告诉我那个故事。

D：这是一个很好的故事。这是一个很好的故事。这太疯狂了。钟开莱这样的人教他如何开车，真是太疯狂了，因为开莱实质上是盲人。

黄：Cramér 用美国的驾照换到了瑞典的驾照。

D：啊，那很好。那很好。我有一个关于 Cramér 的精彩故事。当他大约 …… 你见过 Cramér 吗？

黄：没有。

D：好。要知道，瑞典人有两种，有些是很高的战士。他身高 6 英尺 7 英尺。非常非常高大，非常善良、聪明。和他共处时，他会听你说话，会和你对谈。他 80 岁左右时，柏克莱有个研讨室要命名，Neyman 45 请 Cramér 飞来为研讨室揭幕。Cramér 曾担任瑞典大学的校长。他是一位伟大的科学家。每个人都敬重他。他是个严肃的瑞典人，但他是个好人。我被指派招待他，陪他一小时。我是一名助理教授，但他们说，“你能和 Cramér 教授谈谈，带他去喝咖啡或做些什么吗？” 于是我和 Cramér 共处一个小时。他说：“你好”。我说：“我有一个真正的问题要问你”。他说：“是吗？” 我说：“你曾经做过数论，你做出很好的数论结果，然后你不做了。你为什么不再做数论？” 他说，这是一个有趣的问题，我要告诉你。他说：“我喜欢数论。别无其它我要研究的; 我早上、中午和晚上都研究它，那是我毕生的工作。”Cramér 在瑞典时，是 Mittag-Leffler[46] 的助理。有一天，Mittag-Leffler 把他叫进来，说：“你把这个写在我的论文上吗？” 他曾给 Cramér 他的论文草稿，要 Cramér 阅读和修正，“你把这些评论写在我的论文上吗？” Cramér 说：“是的，先生”。他说：“你不会再在瑞典做数学了”。他再也不能做数学; Mittag-Leffler 权势很大，以至于他不得不停止做数学。他转而学习精算科学。这是一个让人惊叹的故事。首先，有人有这种权势，让我很讶异。我说：“这是一个不比寻常的故事。你有写下来？记录下来？他说：“是的，在我的自传里”。我说：“什么自传？” 他说，我为我的孩子写了一本自传。他说：“有 4 份。其中一份副本在瑞典图书馆，你可以找到它，故事就在那里。”他写下它和其他有趣的事情。Mittag-Leffler 如此有权势，真是太离奇了。诡异。

黄：是的。我从 Grenander 那里听闻此事。

D：那个故事？所以我们两个人都知道它。抱歉，我的叙述正确吗？大半是对的。因为他告诉了我。这很感人，因为他是一个很好的数论学家，提出质数的 Cramér 模型，底数是  的 Poisson 过程，还有很多很多很好的定理。

黄：我问我的老师：为什么他们能够做很多不同的事情。他告诉我，因为瑞典是个小国，所以他们的知识分子必须有能力去做不同的事情。我记得他曾告诉我，他证明统计学的一些理论时，因为 Cramér 很忙，要求他接管保险的工作，所以他不得不做 ……

D：生命科学，是的。

黄：像是生命表（life table）和汽车保险。

D：我明白。

黄：所以他证明出汽车保险的某些定理，因为汽车保险和人寿保险非常不同。

D：真有意思。他写下来了吗？我不知道那个故事。

黄：他没有写下这样的事情，但他告诉过我们。

D：太精彩了，因为他喜欢抽象数学。我的意思是，他是很精彩的人。Granander 总是深富人性，非常愿意和人说话，我去过布朗大学很多次，因为它离哈佛很近; 我在哈佛教书的时候去的。他建立了一个很好的系所。

黄：他还告诉我们，关于他设计的东西。他不知道他们真的用了那个东西。海军上将要求他设计大炮，因为在瑞典，他们做了很多炮弹。

D：炮弹？他们想测试他们是否有战力？

黄：他们请他设计有适当大小的炮弹，用在军舰上。炮弹的尺寸，要怎么讲呢？

D：对，對。炮弹的内部，对吧？是的，对。

黄：对，炮弹。我应该用通用这个字; 一个尺寸适当的炮弹，在军事上很有用。Grenander 实际计算了一下。他们真的采用了。

D：很好。

黄：另一件事是后勤动员。在战争期间，你必须动员物资，你必须把东西存放在不同的地方。实际上，他为国防部写了一篇关于这个问题的文章。

D：如何以最佳方式储存东西 ……

黄：是的，他尝试做这样的事情。

D：但是可以像 Monge–Ampère 一样，也就是说，你想储存东西，以便它们可以 ……

黄：战争中，从不同的地方，他们可以 ……

D：是的，他们必须最小化运送物资的时间，对，是的，像 Monge–Ampère 一样，就像在给定的边际条件下做度量。

黄：运输问题。

D：就是这样！你已经证明了你是这里最年轻的。

黄：运输问题。

D：对。

黄：有些来自实际应用的数学问题。他们必须解决那些问题。

刘：和你谈话真是畅快。真好。我们可以继续谈到深夜，但我认为我们应该去吃晚饭。但谈到台湾人，相对于你不可思议的人生经验，我担心台湾学生; 他们太专注于书籍和考试。

D：考试之类的事情。是的。

刘：而且，你知道，启瑞这一代; 启瑞比我年轻一点，但不是那么多。

黄：3 岁或 4 岁。

刘：4 岁。对。但年岁的比例正在变成 1 。我知道现在这是一个敏感问题。

D：不，在这个房间里不敏感。

刘：不在这个房间里。但我们这一代，对书本和考试，并不那么专心一意。但现在的年轻人，有点过于关注单一焦点。Persi 是不同的，真好。

D：真是太愉快了。我会在这里是你的错; 没有你，我不会来的。

刘：我们去吃晚饭吧。

D：好，因为和你一样，我现在还有时差。

—— 本文访问者刘太平、黄启瑞任职中央研究院数学研究所 ——

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注释：

[1]Louis Nirenberg (1925～2020), 加拿大出生的美籍数学家, 对线性及非线性偏微分方程理论, 及其在复分析、几何中的应用, 做出重大贡献。2015 年获颁 Abel 奖。

[2]Joseph Keller (1923～2016), 美国数学家, 提出几何衍射理论来解决波传播问题。1997 年因他对电磁、光学、声波传播, 以及流体、固体、量子和统计力学的贡献, 获颁 Wolf 奖。

[3]Kenji Fukaya (深谷贤治, 1959～ ), 专访 2009 年刊载於数学传播 33 卷第 3 期。Fukaya 近年来的工作重心是辛几何, 特别是拉格朗日子流形, 以及与这些子流形的交集相关的 Floer homology。Fukaya 发展了一种理论, 将给定的辛流形的拉格朗日子流形视為某种广义范畴的对象, 现称 Fukaya 范畴。

[4]Yakov Eliashberg (1946～ ) 俄国出生的美籍数学家, 专访 2017 年刊载於数学传播 41 卷第 2 期。他的研究兴趣在辛几何、contact 几何、多复变、奇点理论和低维拓扑。他是辛拓扑的创始人之一。2020 年获颁 Wolf 奖。

[5]John Pardon (1989～ ), 任教於普林斯顿大学, 解决了 Gromov 提出的结的形变问题。

[6]Vladimir Arnold (1937～2010), 出生於乌克兰的数学家, 与 Kolmogorov 及 Moser 提出 KAM 理论, 研究可积动力系统的稳定性。因他在动力系统、微分方程和奇点理论方面的工作, 于 2001 年获颁 Wolf 奖。

[7]Mikhael Gromov (1943～), 俄国出生的法籍数学家。藉由创新思想及非传统的数学方法, 获致几何分析及群论的重大突破, 解决了现代几何中诸多复杂问题。2009 年获颁 Abel 奖。

[8]Ronald Graham (1935～2020), 专访 2019 年刊载於数学传播 43 卷第 2 期。美国数学家, 对组合学有重要贡献。他与 Paul Erdos 长期合作。

[9]William "Vilim" Feller (1906～1970), 克罗埃西亚出生的美国数学家, 对马尔可夫链理论有重大贡献, 并以两卷专书闻名於世。

[10]Anthony D'Aristotle 。

[11]Fred Mosteller (1916～2006), 美国统计学家, 著作甚丰, 对美国统计学的发展有重大影响。

[12]Martin Gardner (1914～2010), 1956 至 1981 年在 Scientific American 杂誌撰写数学游戏专栏。

[13]Sheldon Ross,《A First Course in Probability》 及 《Stochastic Processes》.

[14]Donald Knuth (1938- ), 美国数学家暨电脑科学家, 对演算法有卓越研究, 并发明 TeX 排版语言。著作包括多卷《The Art of Computer Programming 》。1974 年获颁 Turing 奖。

[15]Louis Gordon (1946～ ), 任教於南加大, 专精统计学。

[16]Louis Gordon, A Stochastic Approach to the Gamma Function, the American Mathematical Society, Vol. 101, No. 9 (Nov., 1994), pp.858-865

[17]Abramowitz 和 Stegun 是 1964 年数学参考书的非正式名称, 由美国国家标准局 (现為美国国家标准和技术研究院 NIST) 的 Milton Abramowitz 和 Irene Stegun 编辑。

[18]William Kantor (1944～ ), 美国数学家, 任教於 Oregon 大学, 研究有限几何, 以及有限群在电脑科学 (群论演算法)、组合学、编码理论和几何学中的应用。

[19]Persi Diaconis, Ronald Graham and William M. Kantor, The mathematics of perfect Shuffles, Advances in Applied Mathematics, Volume 4, Issue 2, June 1983, Pages 175-196.

[20]Gina Kolata, In Shuffling Cards, Seven is Winning Number, New York Times, Jan. 9, 1990

[21]Paul Lévy (1886～1971), 法国数学家, 早年是泛函分析专家, 对机率论有重大贡献, 特别是 Wiener 过程及 Lévy flight 方面的研究。

[22]Srinivasa Ramanujan (1887～1920), 对解析数论做出了重大贡献, 致力於椭圆函数、连分数和无穷级数的研究。

[23] https://www.youtube.com/watch?v=zg6YRqT4Duo.

[24]Grigori Mints (1939～2014), 生前任教於史丹佛大学哲学系。他的研究重心是证明论、数学推理分析及其在电脑科学等领域的应用。

[25]Grigori Yakovlevich Perelman (1966～ ), 俄罗斯数学家, 证明了 Poincaré 猜想, 而后拒绝接受菲尔兹奖及 100 万美元的 Clay 奖。

[26]钟开莱 (1917～2009), 华裔美籍数学家, 对布朗运动、随机过程及其在几何、分析的应用有卓越贡献, 并有十多本专书著作。

[27]Samuel Karlin (1924～2007), 波兰裔美国数学家, 生前任教於史丹佛大学数学系, 研究赛局理论及其在经济学、人口统计的应用。1989 年, 提出一种估计一个生物体的已知 DNA 序列与另一个生物体的已知 DNA 序列之间相似性的方法, 协助研发方法来对具有统计显著性的 DNA 匹配进行排序。

[28]Menahem Max Schiffer (1911～1997), 德裔美国数学家, 从事复分析、偏微分方程和数学物理研究。

[29]Paul Cohen (1934～2007), 美国数学家, 使用 forcing 的技巧, 证明选择公理和广义连续统假设在集合论中的独立性, 从而获费尔兹奖。他对调和分析也有卓越贡献, 曾提出 idempotent theorem。

[30]Gábor Szego (1895～1985), 匈牙利裔美国数学家, 研究极值问题及 Toeplitz 矩阵。

[31]George Pólya (1887～1985), 匈牙利裔美国数学家, 研究机率、分析、数论、几何、组合数学和数学物理。

[32]是一个著名的咒文, 作為「magic word」在进行魔术表演时使用。

[33]Iain Johnstone (1956～ ), 澳洲出生的统计学家, 任教於史丹佛大学统计系

[34]David Mumford (1937～ ), 出生於英国的美国数学家, 因代数几何方面的工作而获颁 1974 年菲尔兹奖。而后对电脑视觉及模式理论贡献卓著。目前是布朗大学应用数学系名誉教授。

[35]Barry Mazur (1937～ ), 美国数学家, 对数论、算术几何、几何拓扑、微分拓朴、代数几何有重大贡献。2022 年获颁 Chern Medal。

[36]Lynn Harold Loomis (1915～1994), 美国数学家, 研究分析、应用数学及统计。

[37]Andrey Kolmogorov (1903～1987), 俄国数学家, 发展了机率论的公理基础。他利用机率理论研究了行星的运动和喷射发动机的湍流气体。他也是演算法复杂性理论的奠基者。

[38]David Kazhdan (1946～ ) 前苏联及以色列数学家, 对表示理论有重大贡献, 在 Kazhdan - Lusztig 猜想及 Langlands 纲领方面成就斐然。

[39]Ulf Grenander (1923～2016), 瑞典数学家, 生前任教布朗大学。他的早期研究涉及机率论, 随机过程, 时间序列分析和统计理论。近几十年来, 他為计算统计, 图像处理, 模式识别和人工智能做出贡献。

[40]Andrew Gehman (1965～ ), 美国统计学家, 哥伦比亚大学的统计兼政治学教授。

[41]David Freedman (1938～2008), 加州大学柏克莱分校统计教授, 研究 martingale 不等式，Markov 过程等。

[42]John Nash (1928～2015), 美国数学家, 因在赛局论方面的工作而於 1994 年获颁诺贝尔经济学奖。2015 年, 因他对偏微分方程的贡献而获颁 Abel 奖。

[43]Robert Finn (1923～ ), 专访 2003 年刊载於数学传播 27 卷第 2 期。他在 Navier-Stokes 方程式、最小曲面方程式及毛细面研究上贡献卓著。

[44]Harald Cramér (1893～ 1985), 瑞典数学家、精算师和统计学家, 专精数理统计及机率数论。

[45]Jerzy Splawa-Neyman (1894～1981), 俄罗斯出生的美国数学家, 对机率和统计有重要贡献, 包括在气象学和医学中的应用。

[46]Gosta Mittag-Leffler (1846～1927), 瑞典数学家, 研究函数的一般理论。他最著名的工作是单值函数的解析表示。

刘太平等 好玩的数学 2023-06-16 09:20 发表于江西