求实变量 x,y 的二元函数 f(x,y)=(x+cosy)^2+(2x+3+siny)^2 的值域

dodonaomikiki

2023USTC强基，（x+cosy）平方+（2x+3+siny）平方的值域

请看题目

dodonaomikiki

本来想着，
x,y加以分离来计算，
那不是很简单嘛！



后来想一想，
这显然不行 显然是非常昏聩无知的想法


不晓得，应该运用什么思路？暂时还未想到

luyuanhong

dodonaomikiki

当初作起来，
感觉有点无聊！无料！

对应陆老师的指导，我想这应该是错误的！
下面是备案：



追求最小值！

\begin{align*}
  x^2+2xcosy+1   \\
+(2x+3)+2(2x+3)siny\\
&=5x ^2 +12x   +10\\
2xcosy+2(2x+3)siny\\
&=5x^2+12x+10+\sqrt{  (2x)^2+4(2x+3)^2  }  \bullet  sin(\Phi   +y)\\
\Longrightarrow      min&=5x+12x+10\\
\Longrightarrow      min_{min}&=5(x+\frac{6}{5})^2-5  \bullet  \frac{36}{25}+10\\
&=10-  \frac{36}{5}\\
&=  \frac{14}{5}\\
\end{align*}

dodonaomikiki

\begin{align*}

5x^2+12x+10+\sqrt{     4x^2+16x^2  +48x+36   } \\
显然，   x  &\longrightarrow   +\infty\\
    max&=  +\infty  \\

\end{align*}

dodonaomikiki

尽管是错误答案！
、但是，
想坐一下备案，到时候看看，自己思维错误发生在哪里！

dodonaomikiki

后来思考我的错误，
再求最小值的时候，
忽略啦三角函数是！可以取到负值的
竟然忘了这一点！
只考虑到取O啦，思虑不周！


继续考虑，
此题利用数形结合，才比较好！
省力一些，
如若丹丹利用三角函数，
就很麻烦！

dodonaomikiki

\(y=5x^2+12x+10-\sqrt{  (2x)^2+4(2x+3)^2  }\)

\(确实可以取到其最小值 =\frac{14}{5}-1,2\sqrt{5}\)
但这应该是，一个困难的问题

dodonaomikiki

Cat
通过微积分里的求导，
可以求得极值！


但是计算过于繁琐，
就可行性价值很低！
考试中，更不可取，时间不允许，不允许你想怎么样就怎么样！
便捷方法，具有更大价值，时间太紧张啦