抛物线 y=x^2+a，x=y^2+a，y=-x^2-a，x=-y^2-a 两两相切，求它们围成封闭图形的面积

dodonaomikiki

2023USTC强基，四条抛物线围成的面积知多少

这个题目感觉比较好玩

请看题目

dodonaomikiki

开始还画了很多图，
进行尝试！
尝试到x=0,25的时候，好像可以啦！【实际上，也是如此】

dodonaomikiki

我的思路是计算黄色区域这一块！
然后乘以8

dodonaomikiki

\begin{align*}
x&=x^2+a\\
结合，y&=x\\
既然只有一个跟，\\
就要考虑x&=x^2+a这个方程的判别式=0\\
\Longrightarrow    a&=\frac{1}{4}\\
\end{align*}

dodonaomikiki

\begin{align*}

Area(yellow)=&\frac{   \sqrt{ \frac{1}{4}  +   \frac{1}{4}          }}{4}+\frac{   ln(0,5+\frac{\sqrt{ 2}}{2}) -ln0,5  }{8   }+\frac{1}{8}\\

总面积\\
=&8   \bullet     Area(yellow)\\
=&2  \sqrt{ \frac{1}{4}  +   \frac{1}{4}          }+   ln(0,5+\frac{\sqrt{ 2}}{2}) -ln0,5 +1\\
=&  \sqrt{ 2    }+   ln\frac{1+\sqrt{ 2}}{2} -ln0,5 +1\\
=& 1+ \sqrt{ 2    }+   ln(\frac{1+\sqrt{ 2}}{2}   \bullet  2 )\\
=& 1+ \sqrt{ 2    }+   ln(1+\sqrt{ 2} )\\
\end{align*}

dodonaomikiki

不晓得对不对，
乱做一通，
难免产生错误

luyuanhong

dodonaomikiki

谢谢陆老师~~~本来还觉此题海很简单！


实际上不简单，
我还需要静下心来，
仔细分析我的错误在哪里！