【资料】ELLIPSE pole, pole line 之十B

dodonaomikiki

G点位于椭圆内部
其坐标，以及椭圆方程，见图！
求出：G点之极线
证明：  以G点为中点的弦//G点之极线

dodonaomikiki

\begin{align*}
The   \qquad      eqn.    \qquad      of    \qquad     the    \qquad     chord   \qquad     of   \qquad      contact\\
\frac{2  \bullet   x}{16}    +\frac{   1  \bullet   y   }{ 4  }&=1\\


\frac{x}{8}    +\frac{y}{4}&=1\\
x+2y&=8\\
2y&=8-x\\
y&=-\frac{x}{2}+4\\
\end{align*}

dodonaomikiki

对应主楼，
黄色部即为自极三角形
二楼也展示出另一个自极三角形，
这样，多侧面展示出极线方程我们木有求错

dodonaomikiki

\begin{align*}

Proof:
Set:   this   \qquad   chord=AB\\
A(x_A,  y_A   )\\
B(x_B,  y_B   )\\
We   \qquad     have   \qquad      known   \qquad      that
\begin{cases}          \frac{x_A+x_B    }{2}  =2         \\    \frac{y_A+y_B    }{2}  =1                 \end{cases}\\
\Longrightarrow  \\
\begin{cases}          x_A+x_B   =4         \\   y_A+y_B  =2                  \end{cases}\\
Set   \qquad   \ell_{AB}:y&=kx+B\\
\Longrightarrow     K x_A  +B  +Kx_B   +B&=2\\
k  \bullet   4+2b&=2\\
2k+b&=1\\
\Longrightarrow    b&=1-2k \\

Insert     \qquad     \ell_{AB}     \qquad    into    \qquad     \Gamma:   \frac{  x^2}{16}+ \frac{  y^2}{4}&=1\\
x^2+4   （kx  +1-2k）^2&=16\\
It's    \qquad    easy    \qquad     to   \qquad      get\\
x^2+4k^2x^2+4(2k  -4k^2)x+16k^2-16k-12&=0\\
\Longrightarrow    -  \frac{   4    \bullet     2(k  -2k^2)  }{ 1+4k^2  }&=4\\
\Longrightarrow  2(2k^2-k)  &= 1+4k^2
-2k&=1\\
k&=-\frac{1}{2}   \\
\Longrightarrow         \qquad   以G点为中点的弦//G点之极线

\end{align*}