【资料】ELLIPSE pole, pole line 之十一

dodonaomikiki

\(  \Gamma:   \frac{  x^2   }{    4}   +y^2=1\)
A,B乃是左右顶点
M,N位于椭圆上面，而且   AM垂直AN
证明：  MN恒过定点

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\begin{align*}

PROOF\\
Points    \qquad     A,B     \qquad    are    \qquad      symmetrical\\
\Longrightarrow   定点必然位于x-axis上面\\
再来补足四边形AMBN\\
\Longrightarrow    Point    \qquad     C    \qquad    lies     \qquad   on     \qquad    the   \qquad      polar    \qquad    line    \qquad    of     \qquad    G  (m,0)\\
椭圆第三定义\\
\Longrightarrow      K_{BM}  \bullet  K_{AM}&=\frac{-1}{4}\\

4 K_{BM} &=- K_{AM}\\
\Longrightarrow    K_{AN} &=4 K_{BM}\\
\end{align*}

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\begin{align*}

\Longrightarrow    tan\measuredangle  CAS& =4\measuredangle    tan  CBS\\
\Longrightarrow   \Bigg| BS    \Bigg| & =4   \Bigg| AS  \Bigg| \\   

\Longrightarrow   2-x&=4(-2-x)\\
\Longrightarrow    2-x&=-8-4x\\
\Longrightarrow     10&=-3x\\
\Longrightarrow   x&=\frac{-10}{3}\\
\Longrightarrow    C位于x&=\frac{-10}{3}  上面\\
且点G之极线:  x=\frac{4}{m}&=\frac{-10}{3}\\
\Longrightarrow   12&=-10m \\
\Longrightarrow    m&=\frac{-12}{10}=\frac{-6}{5}\\
\Longrightarrow    MN恒过定点&【\frac{-6}{5}，   0】\\
\end{align*}

dodonaomikiki

再仔细观察一哈，
这个直角三角形