有趣的自然数及其性质

yangchuanju

有趣的自然数及其性质
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有趣的自然数及其性质之二
ABA型数
这里的ABA型数特指A*B^A型数字，可以表示为A*B^A, 其中A、B>1。
例如，648是第一个具有两种表示形式的 ABA 型数字，2*18^2及3*5^3。
根据 Robert Munafo 的说法，具有3个不同形式的最小数字是 344373768，它等于8*9^8、3*486^3和2*13122^2。
构建具有 3 种表示形式的更大数字示例并不困难，但它们实际上往往相当大。例如，30233088000000=2*3888000^2=3*21600^3=5*360^5，
或者198077054103584768=2*314703872^2=7*224^7=8*112^8，
再举一个奇怪的例子，3*170445385984785854816436767578125^3
=5*19705225067138671875^5=81*15^81
一般来说，可以n用任意数量的表示形式构造一个数字，其形式为
n=p1*a1^p1=p2*a2^p2=…=pk*ak^pk
其中pi是素数 2, 3, 5,.... 显然ak=(n/pk)^(1/pk)。
……
例如，具有 4 个这样的表示形式的 255 位数字是2^105*3^70*5^126*7^120，具有 5 个表示形式的 2549 位数字之一是2^1155*3^1540*5^1386*7^330*11^210。
由 ABA 数组成的最小毕达哥拉斯三元组是 ( 98304 , 131072 , 163840 ) 和 ( 229376 , 786432 , 819200 )，它们对应于(3*32^3, 2*256^2, 5*8^5)和(14*2^14, 3*64^3, 2*640^2)。
最小的ABA 数为8,18,24,32,50,64,72,81,98,128,160,162,192,200，……（参见A171607）

具有两种和多种表达形式的ABA型数字参见AA171606，
648, 2048, 4608, 5184, 41472, 52488, 472392, 500000, 524288, 2654208, 3125000, 4718592, 10125000, 13436928, 21233664, 30233088, 46118408, 76236552, 134217728, 169869312, 344373768, 402653184, 512000000, 648000000, 737894528, 800000000, 838860800, 922640625……

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最小的ABA 数为8,18,24,32,50,64,72,81,98,128,160,162,192,200，……
8=2*2^2，  18=2*3^2，  24=3*2^3，  32=2*4^2，  50=2*5^2,  ……

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A117246
Left truncatable squares, ending in 5.
以5结尾的左删平方数
225, 625, 1225, 2025, 3025, 4225, 5625, 7225, 9025, 15625, 27225, 30625, 34225, 42025, 50625, 60025, 70225, 75625, 81225, 93025, 105625, 275625, 330625, 600625, 893025, 950625, 970225, 1050625, 2030625, 3330625, 4950625, 40005625

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A061839
a(n+1) is the smallest square ending with a(n), initial term is 5.
以5结尾的尾部是上一级平方数的最小平方数

5, 25, 225, 1225, 81225, 16281225, 7077116281225, 1642681227077116281225, 228822983661635570881642681227077116281225, 976324672198183536165095004791768497036228822983661635570881642681227077116281225

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A050634
a(n+1) is next smallest square ending with a(n), initial term is 1.
以1结尾的尾部是上一级平方数的最小平方数

1, 81, 1681, 1461681, 220861461681, 31071113326220861461681, 36510705834446371569631071113326220861461681, 268496773864458678522722709023395604054900436510705834446371569631071113326220861461681

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A050636
a(n+1) is next smallest square ending with a(n), initial term is 4.
以4结尾的尾部是上一级平方数的最小平方数

4, 64, 1764, 6041764, 96126041764, 8584885596126041764, 1094573934406914368584885596126041764, 164840278246153785356947805564195221094573934406914368584885596126041764

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A050638
a(n+1) is next smallest square ending with a(n), initial term is 9.
以9结尾的尾部是上一级平方数的最小平方数

9, 49, 1849, 1671849, 24011671849, 408646172724011671849, 14079962896835441528408646172724011671849, 30988070410883251650062468506470600085614079962896835441528408646172724011671849

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有趣的自然数及其性质之一
和素数

A089824
Primes p such that the next prime after p can be obtained from p by adding the sum of the digits of p.
对 p 进行素数处理，使得 p 之后的下一个素数可以通过将 p 的各位数字相加而从 p 中获得。

11, 13, 101, 103, 181, 293, 631, 701, 811, 1153, 1171, 1409, 1801, 1933, 2017, 2039, 2053, 2143, 2213, 2521, 2633, 3041, 3089、3221、3373、 3391、3469、3643、3739、4057、4231、5153、5281、5333、5449、5623、5717、6053、6121、6301、7043、7333、8101、8543、9241……

11+1+1=13，  13+1+3=17，  101+1+0+1=103，  103+1+0+3=107，  181+1+8+1=191，  ……
11,13；13,17；101,103；103,107；181,191；……都是素数。

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a-pointer primes

A prime number  $p$  is called a-pointer if the next prime number can be obtained adding  $p$  to its sum of digits (here the 'a' stands for additive).
For example, 293 is an a-pointer prime since the next prime is equal to 293 + 2 + 9 + 3 = 307.

The first a-pointer primes are 11, 13, 101, 103, 181, 293, 631, 701, 811, 1153, 1171, 1409, 1801, 1933, 2017, 2039, 2053, 2143, 2213, 2521, 2633, 3041, 3089, 3221, 3373, 3391, 3469, 3643, 3739, 4057, 4231, 5153, 5281, 5333, 5449, 5623, 5717, 6053, 6121, 6301, 7043, 7333, 8101 more terms