恶作剧数——有趣的自然数及其性质（五）

yangchuanju

恶作剧——恶作剧——一个大骗局！

有趣的自然数及其性质之84——hoax，
Hoax什么意思？
百度译作——恶作剧或骗局；
360译作——n.骗局；恶作剧；comp.骗局的；恶作剧的；vt.欺骗；戏弄

那么，《有趣的自然数及其性质》中的“hoax”又是一种什么数字呢？

yangchuanju

hoax numbers
https://www.numbersaplenty.com/set/hoax_number/

hoax numbers  恶作剧号码
A composite number the sum of whose digits is equal to the sum of the digits of its distinct prime factors is called hoax number.
其各位数字之和等于其不同质因数的数字之和的合数称为骗局数。

For example, 5464=2^3*683 is a hoax number since 5+4+6+4=2+6+8+3.
例如，5464=2^3*683是一个恶作剧号码，因为5+4+6+4=2+6+8+3。

The first pair, triple, etc. of consecutive hoax numbers starts at 84, 12955, 291090, 9538589, 3541285143, 136063250955, and 253282144742, respectively.
Up to 10^8  there are 3183722 hoax numbers.
第一对、三对等连续恶作剧号码分别从84、12955、 291090、9538589、3541285143、136063250955和253282144742开始。
10^8以内的诈骗号码多达3183722个。
【附注：译文中的“第一对”应为“第二对”；因为84,85是二连恶作剧数；12955,12956,12957是三连恶作剧数；……】

The smallest primitive Pythagorean triangle with 3 hoax sides is (32880, 4369, 33169).
具有 3 个骗局边的最小原始毕达哥拉斯三角形是 (32880,4369,33169)。

Note that Smith numbers are defined similarly, but they take into account prime factors multiplicity. Clearly, a squarefree Smith number is also a hoax number.
请注意，史密斯数的定义类似，但它们考虑了质因数重数。显然，无平方史密斯数也是一个恶作剧数。

最初（最小）的一些恶作剧数是：
22,58,84,85,94,136,160,166,202,234,250,265,274,308,319,336,346,355
22=2*11，2+2=2+1+1；58=2*29，5+8=2+2+9；……

嗷！
恶作剧数不过就是——各位数字之和等于其不同素因子的数字之和的合数！

有用的链接Mathworld，恶作剧数
OEIS，序列 A019506

yangchuanju

The first 600 hoax numbers :  前600个恶作剧数是：
22, 58, 84, 85, 94, 136, 160, 166, 202, 234, 250, 265, 274, 308, 319, 336, 346, 355, 361, 364, 382, 391, 424, 438, 454, 456, 476, 483, 516, 517, 526, 535, 562, 627, 634, 644, 645, 650, 654, 660, 663, 690, 702, 706, 732, 735, 762, 778, 855, 860, 861, 895, 913, 915, 922, 948, 958, 985, 1086, 1111, 1116, 1148, 1165, 1219, 1255, 1282, 1312, 1344, 1404, 1484, 1507, 1550, 1576, 1581, 1600, 1612, 1626, 1633, 1642, 1650, 1665, 1678, 1708, 1752, 1795, 1812, 1822, 1824, 1842, 1858, 1876, 1894, 1903, 1921, 1924, 1966, 2008, 2038, 2064, 2067, 2106, 2155, 2166, 2173, 2182, 2218, 2227, 2232, 2236, 2265, 2275, 2325, 2326, 2352, 2356, 2362, 2373, 2401, 2409, 2434, 2461, 2500, 2515, 2541, 2565, 2578, 2605, 2614, 2616, 2625, 2640, 2679, 2722, 2751, 2760, 2785, 2826, 2839, 2872, 2902, 2911, 2924, 2958, 2960, 2965, 2974, 3036, 3042, 3046, 3048, 3091, 3138, 3164, 3172, 3226, 3246, 3268, 3285, 3339, 3344, 3345, 3381, 3390, 3393, 3442, 3474, 3476, 3484, 3505, 3552, 3556, 3592, 3595, 3615, 3618, 3622, 3625, 3630, 3649, 3694, 3712, 3736, 3792, 3802, 3836, 3850, 3865, 3892, 3912, 3920, 3930, 3933, 3946, 3973, 4024, 4054, 4116, 4126, 4148, 4160, 4162, 4173, 4188, 4189, 4191, 4198, 4209, 4212, 4228, 4235, 4268, 4275, 4279, 4306, 4344, 4369, 4396, 4414, 4456, 4460, 4473, 4564, 4590, 4594, 4636, 4656, 4676, 4702, 4744, 4765, 4770, 4776, 4794, 4820, 4824, 4844, 4855, 4905, 4918, 4920, 4954, 4974, 4980, 4981, 5022, 5052, 5062, 5068, 5071, 5094, 5098, 5145, 5150, 5168, 5176, 5242, 5253, 5268, 5269, 5298, 5305, 5332, 5344, 5348, 5386, 5397, 5412, 5422, 5425, 5458, 5464, 5484, 5485, 5525, 5539, 5548, 5602, 5612, 5638, 5642, 5652, 5674, 5715, 5742, 5752, 5818, 5840, 5854, 5874, 5926, 5935, 5946, 5998, 6016, 6027, 6054, 6060, 6066, 6115, 6175, 6178, 6184, 6187, 6244, 6259, 6260, 6295, 6315, 6356, 6364, 6385, 6390, 6439, 6457, 6472, 6475, 6500, 6502, 6504, 6512, 6524, 6531, 6564, 6567, 6583, 6585, 6596, 6600, 6603, 6604, 6616, 6620, 6633, 6692, 6693, 6702, 6714, 6718, 6741, 6835, 6855, 6900, 6904, 6934, 6950, 6960, 6980, 6981, 7008, 7026, 7028, 7038, 7048, 7051, 7052, 7062, 7076, 7078, 7089, 7150, 7186, 7195, 7196, 7212, 7228, 7236, 7249, 7268, 7287, 7335, 7339, 7362, 7364, 7402, 7428, 7438, 7447, 7465, 7503, 7506, 7525, 7624, 7627, 7650, 7674, 7683, 7726, 7756, 7762, 7782, 7809, 7834, 7850, 7915, 7924, 7978, 8005, 8014, 8023, 8076, 8077, 8084, 8091, 8095, 8145, 8149, 8158, 8164, 8185, 8214, 8224, 8244, 8257, 8277, 8284, 8292, 8308, 8325, 8334, 8347, 8415, 8420, 8421, 8466, 8508, 8518, 8545, 8600, 8653, 8673, 8720, 8724, 8754, 8780, 8790, 8816, 8851, 8914, 8924, 8932, 8955, 8982, 9015, 9028, 9031, 9052, 9094, 9096, 9116, 9166, 9180, 9193, 9229, 9274, 9285, 9294, 9301, 9306, 9330, 9333, 9346, 9350, 9355, 9382, 9412, 9425, 9427, 9436, 9483, 9528, 9535, 9540, 9571, 9598, 9630, 9634, 9650, 9652, 9711, 9716, 9717, 9735, 9742, 9772, 9778, 9843, 9861, 9895, 9916, 9940, 9942, 9985, 10044, 10075, 10179, 10188, 10192, 10240, 10268, 10278, 10291, 10375, 10392, 10406, 10419, 10462, 10464, 10489, 10492, 10550, 10560, 10579, 10604, 10606, 10624, 10669, 10675, 10689, 10698, 10704, 10705, 10761, 10780, 10786, 10797, 10806, 10854, 10884, 10887, 10926, 10936, 10948, 10966, 10982, 11065, 11124, 11209, 11228, 11232, 11468, 11476, 11484, 11574, 11659, 11679, 11686, 11688, 11695, 11712, 11739, 11774, 11775, 11785, 11857, 11908, 11913, 11944, 11965, 12055, 12068, 12091, 12144, 12188, 12192, 12195, 12226, 12256, 12262, 12318, 12366, 12388, 12406, 12442, 12464, 12532, 12546, 12552, 12556, 12558, 12612, 12622, 12650, 12658, 12664, 12667, 12775, 12780, 12795, 12796, 12825, 12828, 12847, 12880, 12908, 12932, 12937, 12939, 12946, 12952, 12955.

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《有趣的自然数及其性质》之中，还有一些更奇特的数字：
hungry饥饿数
impolite不礼貌数
insolite无礼的数
vampire吸血鬼数
weird怪异数
等等……

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hungry numbers  饥饿的数字

The n-th hungry number is the smallest number k such that in the decimal expansion of 2^k appear the first n decimal digits of π=3.141592653589793…….
第 n个饥饿数k，使得在2^k的十进制展开式中第一次出现π的前n位数字，π的十进制数字是3.141592653589793……。

For example, the first hungry number is 5, since 2^5=32 (原文3下标有下划线), the second is 17, since 2^17=1 31 072(原文31下标有下划线，这里用空格表示) and the third is 74, since 2^74=188894659 314 78580854784(原文314下标有下划线，这里用空格表示).
例如，第一个饥饿数字是 5，因为2^5=32 (原文3下标有下划线)，第二个饥饿数字是 17，因为2^17=1 31 072(原文31下标有下划线，这里用空格表示)，第三个饥饿数字是 74，因为2^74=188894659 314 78580854784(原文314下标有下划线，这里用空格表示)。

The known hungry numbers are 5, 17, 74, 144, 144, 2003, 2003, 37929, 82810, 161449, 712201, 2401519, 7339199, 33662541.
已知的饥饿数为5、17、74、144、144、2003、2003、37929、82810、161449、712201、2401519、7339199、33662541。

Useful linksOEIS, Sequence A102387

A102387
a(n) is the smallest number m such that 2^m contains the first n decimal digits of Pi.
a(n) 是使 2^m 包含 Pi 的前 n 个十进制数字的最小数字 m。
1 5
2 17
3 74
4 144
5 144
6 2003
7 2003
8 37929
9 82810
10 161449
11 712201
12 2401519
13 7339199
14 33662541

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polite and impolite numbers  礼貌和不礼貌的数字

A number is said polite if it can be expressed as the sum of at least two consecutive natural numbers.
For example, 12=3+4+5， 666=1+2+……+36，and all the triangular numbers greater than 1 are polite numbers (I do not allow 0+1=1).
如果一个数字可以表示为至少两个连续自然数的和，则该数字被称为礼貌的。
例如，12=3+4+5， 666=1+2+……+36，所有大于 1 的三角数都是礼貌数（我不允许0+1=1）。

It turns out that almost all the numbers are polite, and the only impolite numbers are the powers of 2.
事实证明，几乎所有的数字都是礼貌的，唯一不礼貌的数字是 2 的幂。

Indeed, a number with k odd divisors greater than 1 can be represented in k ways as a nontrivial sum of consecutive naturals.
事实上，奇数如有k个大于1的约数，并可以有k种连续自然数的非平凡和的方式表示。

For example, 451 has 3 odd divisors greater than 1, namely 11, 41 and 451 itself, and 3 representations 451=225+226=10+……+31=36+……+46
例如，451有3个大于1的奇数约数，即11,41和451本身，以及3个表示法：
451=225+226=10+……+31=36+……+46。

Since polite numbers are so common, I prefer to list impolite numbers.
由于礼貌的数字很常见，所以我更喜欢列出不礼貌的数字。

The first impolite numbers are1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,8192,16384,32768,65536,131072,262144moreterms
第一个不礼貌的数字是：
1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,8192,16384,32768,65536,131072,262144

——请注意它们都是2的幂数，因此可以说2^k都是不礼貌数！

The impolite numbers up to 10^15——10^15以内的不礼貌数有：
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536, 131072, 262144, 524288, 1048576, 2097152, 4194304, 8388608, 16777216, 33554432, 67108864, 134217728, 268435456, 536870912, 1073741824, 2147483648, 4294967296, 8589934592, 17179869184, 34359738368, 68719476736, 137438953472, 274877906944, 549755813888, 1099511627776, 2199023255552, 4398046511104, 8796093022208, 17592186044416, 35184372088832, 70368744177664, 140737488355328, 281474976710656, 562949953421312.

Useful linksWikipedia, Polite number
OEIS, Sequence A138591——此为礼貌数列表，不含2的幂数。

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insolite numbers  无礼的数字

A number n is said to be insolite if it is divisible by the sum and by the product of the squares of its digits.
如果一个数字n可以被其数字的平方和及其数字平方的乘积整除，则该数字n被称为“insolite”——无礼数 。

For example, 122121216 is insolite since it is divisible by 1^2+2^2+2^2+1^2+2^2+1^2=2^2+1^2+6^2=56
and by 1^2*2^2*2^2*1^2*2^2*1^2=2^2*1^2*6^2=9216

例如，122121216是无礼数，因为它可以被1^2+2^2+2^2+1^2+2^2+1^2=2^2+1^2+6^2=56和1^2*2^2*2^2*1^2*2^2*1^2=2^2*1^2*6^2=9216整除。
(122121216/56=2180736,122121216/9216=13251)

There are only 428 insolite numbers below 10^20.
10^20以内只有四百二十八个无礼的数字。

Only few insolite numbers are known to include the digit '5'. Indeed, the zerolessness conditions prescribe that in this case the number is made of an odd number of odd digits.
已知只有极少数无礼的数字包含数字“5”。事实上，无零条件规定在这种情况下该数字由奇数个奇数位组成。

The table below reports the smallest insolite numbers containing a specific digit.
下表报告了包含特定数字的最小无礼数字。
d        n
2        11112, 1122112, 122121216, 1111112112
3        1111211136, 11111113116, 11132111232
4        11121114112, 121121114112, 211121114112
5        1111111111131111131111111111175
6        122121216, 1111211136, 1116122112
7        123412112474112, 211912113131712
8        121111216128, 911131213824
9        911131213824, 211912113131712

The second smallest insolite number cointaining the digit 5 could by 1111111111131111131111111111175.
包含数字 5 的第二小的无礼数可以是1111111111131111131111111111175。


while the smallest insolite number containing all the digits except 5 is 711813411914121216.
Every number greater than 2644145 can be written as the sum of insolite numbers.
而包含除 5 之外的所有数字的最小的无礼数字是 711813411914121216。
每个大于2644145 的数都可以写成无礼数之和。

The first insolite numbers are 111, 11112, 1122112, 111111111, 122121216, 1111112112, 1111211136, 1116122112, 1211162112, 11111113116 more terms
最初的（最小的）一些无礼数字是：
111 , 11112 , 1122112 , 111111111 , 122121216 , 1111112112 , 1111211136 , 1116122112 , 1211162112 , 11111113116

The insolite numbers up to 10^15——10^15以内的无礼数有：
111, 11112, 1122112, 111111111, 122121216, 1111112112, 1111211136, 1116122112, 1211162112, 11111113116, 11111121216, 11112122112, 11121114112, 11132111232, 11133122112, 11213111232, 11311322112, 12111213312, 21111311232, 31111221312, 32111111232, 111122111232, 111132122112, 111211322112, 111312122112, 112111322112, 113112122112, 121111216128, 121111322112, 121121114112, 131111132112, 131112122112, 211111322112, 211121114112, 311112122112, 911131213824, 1111111113312, 1111121114112, 1121313321216, 1331611322112, 11111111114112, 11111111211312, 11111111312112, 11126112141312, 11211111111312, 11221121114112, 11311111112112, 11611142111232, 12111212122112, 12111213146112, 12113411162112, 12121141211136, 12142111113216, 21111212122112, 21132161114112, 21214111113216, 21311114121216, 41111131226112, 111111111111312, 111111111122112, 111111311111112, 112221411213312, 112264112111616, 123111311118336, 123412112474112, 211211261116416, 211912113131712, 311111111111112, 311111111411136, 323113121114112, 691112321114112.

Useful linksOEIS, Sequence A098034

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vampire numbers  吸血鬼号码（吸血鬼数）

A number n with 2k digits is called vampire there exists two numbers x and y of k digits each such that n=x*y and that x and y together have the same digits of n.
若n=x*y中的每个数字与x和y中的每个数字一起具有相同的数字，则数字n被的称为吸血鬼数。

Moreover, to exclude numbers which can be trivially obtained from smaller ones, x and y cannot end both in '0'.
此外，排除那些可以从较小的数字中简单获得的数字，并且x 和y不能同时以“0”结尾。

The first vampire numbers are 1260=21*60, 1395=15*93, 1435=35*41, 1530=30*51 and 1827=21*87.
最初的（最小的）吸血鬼数是 1260=21*60、1395=15*93、1435=35*41、 1530=30*51和1827=21*87。

It can be shown easily that when divided by 9 a vampire number has a remainder equal to 0 or 4.
可以很容易地证明，吸血鬼数除以 9 后的余数等于 0 或 4。

Since n is a vampire number, the numbers x and y are called fangs.
There are many vampire numbers which have more than one pair of fangs, for example 125460=246*510=204*615 and
13078260=1620*8073=1863*7020=2070*6318.
由于n是吸血鬼数，因此数x和y被称为fangs(尖牙)。
有许多吸血鬼号码具有不止一对尖牙，例如 125460=246*510=204*615和
13078260=1620*8073=1863*7020=2070*6318。

J. K. Andersen has found, among many other results, a 70-digit vampire number with 100025 different fang pairs.
JK Andersen 在许多其他结果中发现了一个 70 位数字的吸血鬼数，其中有 100025 对不同的尖牙。

The vampire numbers were introduced by Clifford A. Pickover in 1994. Note that other similar definition are possible (and sometimes used). For example, it is possible to relax the constraint on the number of digits of x and y, or have more terms in the product, like in 1395=5*9*31.
吸血鬼数字是由 Clifford A. Pickover 于 1994 年引入的。请注意，其他类似的定义也是可能的（有时会使用）。例如，可以放宽对x和y的位数的限制，或者在乘积中包含更多项，如1395=5*9*31。

The first vampire numbers are  
第一个吸血鬼号码是 :
1260 , 1395 , 1435 , 1530 , 1827 , 2187 , 6880 , 102510 , 104260 , 105210 , 105264 , 105750 , 108135 , 110758

Useful linksMathworld, Vampire Number
Wikipedia, Vampire number
J.K.Andersen, Vampire Numbers
Carlos Rivera, Puzzle 199. The Prime-Vampire numbers
OEIS, Sequence A014575
有用的链接Mathworld，吸血鬼数字
维基百科，吸血鬼数字
JKAndersen，吸血鬼数字
卡洛斯•里维拉，谜题 199。素数吸血鬼数字
OEIS， 序列 A014575

A014575
Vampire numbers (definition 2): numbers n with an even number of digits which have a factorization n = i*j where i and j have the same number of digits and the multiset of the digits of n coincides with the multiset of the digits of i and j.

吸血鬼数（定义 2）：具有偶数位的数字 n，其分解为 n = i*j，其中 i 和 j 具有相同的位数，并且 n 的数字的多重集与 n 的数字的多重集一致i和j。
1260、1395、1435、1530、1827、2187、6880、102510、104260、105210、105264、105750、108135、110758、115672、116725、117067、 118440、120600、123354、124483、125248、125433、125460、125500、 126027, 126846, 129640

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weird numbers  奇怪的数字

A number n is called weird if it is abundant but not pseudoperfect, i.e., if the sum of its proper divisors is larger than n, but there is not a subset of them whose sum is n.
如果 一个数n是丰富的（超完全数或称超完美数、盈数）但不是 伪完美的，即如果它的真因数之和大于n，但不存在其总和为n的子集，则该数被称为奇怪数（或称怪异数）。

For example, 70, whose proper divisors are 1, 2, 5, 7, 10, 14, and 35 is abundant since 1+2+5+7+10+14+35>70；

but it not possible to obtain 70 adding a subset of them.
例如，70 的真因数为 1、2、5、7、10、14 和 35，这是丰富的，因为1+2+5+7+10+14+35>70；
但不可能通过添加其中的子集来获得 70。

There are infinite weird numbers and S. Benkowski and P. Erdös have proved that their asymptotic density is positive.
奇异数有无数个，S. Benkowski 和 P. Erdös 已经证明它们的渐近密度是正的。

According to Wenjie Fang, there are no odd weird numbers below  1.8*10^19.
Every even number greater than 11634 can be written as the sum of weird numbers.
按照方文杰的说法，下面并没有奇奇怪怪的数字1.8*10^19。
每个大于11634 的偶数都可以写成奇数之和。

Sidney Kravitz has proved that, if h≥1，P is a prime, and  q=(2^h*p-p-1)/(p+1-2^h),


is prime, then 2^(h-1)*p*q is weird.
西德尼•克拉维茨 (Sidney Kravitz) 证明了，如果 h≥1，P是一个素数，并且q=(2^h*p-p-1)/(p+1-2^h)是素数，那么2^(h-1)*p*q 就是一个奇怪数了。

The first weird numbers are 第一个奇怪的数字是
70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430, 10570, 10792, 10990, 11410, 11690, 12110, 12530, 12670, 13370, 13510, 13790, 13930, 14770, 15610, 15890, 16030, 16310, 16730, 16870  

Useful linksMathworld, Weird Number
Wikipedia, Weird number
OEIS, Sequence A006037

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A006037——奇怪的数（怪异的数）
Weird numbers: abundant (A005101) but not pseudoperfect (A005835).
奇怪的数字：丰富（A005101）但不伪完美（A005835）。
70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430, 10570, 10792, 10990, 11410, 11690, 12110, 12530, 12670, 13370, 13510, 13790, 13930, 14770, 15610, 15890, 16030, 16310, 16730, 16870, 17272, 17570, 17990, 18410, 18830, 18970, 19390, 19670

A005101——超完全数（超完美数、盈数、丰富的数）
Abundant numbers (sum of divisors of m exceeds 2m).
数量丰富（m的约数之和超过2m）。
12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, 112, 114, 120, 126, 132, 138, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 168, 174, 176, 180, 186, 192, 196, 198, 200, 204, 208, 210, 216, 220, 222, 224, 228, 234, 240, 246, 252, 258, 260, 264, 270

A005835——伪完美数（半完美数）
Pseudoperfect (or semiperfect) numbers n: some subset of the proper divisors of n sums to n.
伪完美（或半完美）数 n：n 的真因数的某个子集之和为 n。
6, 12, 18, 20, 24, 28, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108、112、114、120、126、132、138、140、144、150、156、160、162、168、174、176、180、186、192、196、198、200、204、208、2 10、 216, 220, 222, 224, 228, 234, 240, 246, 252, 258, 260, 264