最密孪生素数串

白新岭

今天先开个头，有兴趣的，可以进来讨论。
在最密k生素数群中，构成单元是素数，这里的构成单元是孪中（代表一对孪生素数对）。
1串孪素即为：0→（0,2）
2串孪素为：（0,6）→（0,2,6,8），即最密4生素数。
3串孪素为：（0,6,18）→（0,2,6,8,18,20），不是最密的6生素数，但是比最密6生素数也不多。
4串孪素为：（0,6,18,30）→（0,2,6,8,18,20,30,32）
5串孪素为：（0,6,18,30,36）→（0,2,6,8,18,20,30,32,36，38）
希望继续续航（行），最密5串孪素是自对称，只有一种排列形式，用邻距表示：（0,6,12,12,6）.

白新岭

续上一串又如何？
vfp编程PK合成方法论。
不展身手，那只苦乐酸甜。

白新岭

孪串6邻距式        0        6        12        12        6        12
孪串6邻距式        0        12        6        12        12        6

孪串6间距式        0        6        18        30        36        48
孪串6间距式        0        12        18        30        42        48                                               
中心表示法                                                                                               

孪串6直接式        0        2        6        8        18        20        30        32        36        38        48        50
孪串6直接式        0        2        12        14        18        20        30        32        42        44        48        50

这两组孪串也互为逆元。

白新岭

孪串7邻距式        0        6        12        12        6        12        12                                                       
孪串7邻距式        0        12        12        6        12        12        6                                                       

孪串7间距式        0        6        18        30        36        48        60                                                       
孪串7间距式        0        12        24        30        42        54        60                                                       
中心表示法                                                                                                               

孪串7直接式        0        2        6        8        18        20        30        32        36        38        48        50        60        62
孪串7直接式        0        2        12        14        24        26        30        32        42        44        54        56        60        62
它们互为逆元，只有这两种排列形式。                                                                                                               
在素数23！阶乘中各有480组，23！=223092870（一个周期内）                                                                                                               

yangchuanju

孪1串即普通孪生素数对，用模30余数表示有11,13；17,19；29,31三种；
最密孪2串即最密4生素数，模30余11,13,17,19一种；
最密孪3串的可能形式是模30余11,13,17,19,29,31（缺23）——跨距20；
或模30余17,19,29,31,41,43（缺23,37）——跨距26非最密；
或模30余-1,1,11,13,17,19（缺7）——跨距20；共3种。

最密孪4串的可能形式是模30余11,13,17,19,29,31,41,43（缺23,37）——跨距32；
或模30余17,19,29,31,41,43,47,49（缺23,37）——跨距32；
或模30余-1,1,11,13,17,19,29,31（缺7,23）——跨距32；共3种。

最密孪5串的可能形式是模30余11,13,17,19,29,31,41,43,47,49（缺23,37）——跨距38；
或模30余17,19,29,31,41,43,47,49,59,61（缺23,37,53）——跨距44非最密；
或模30余-1,1,11,13,17,19,29,31,41,43（缺7,23,37）——跨距44非最密；共3种。

最密孪6串的可能形式是模30余11,13,17,19,29,31,41,43,47,49,59,61（缺23,37,53）——跨距50；
或模30余17,19,29,31,41,43,47,49,59,61,71,73（缺23,37,53,67）——跨距56非最密；
或模30余-1,1,11,13,17,19,29,31,41,43,47,49（缺7,23,37）——跨距50最密；共3种。

最密孪7串的可能形式是模30余11,13,17,19,29,31,41,43,47,49,59,61,71,73（缺23,37,53,67）——跨距62；
或模30余17,19,29,31,41,43,47,49,59,61,71,73,77,79（缺23,37,53,67）——跨距62最密；
或模30余-1,1,11,13,17,19,29,31,41,43,47,49,59,61（缺7,23,37,53）——跨距62最密；共3种。

最密孪8串的可能形式是模30余11,13,17,19,29,31,41,43,47,49,59,61,71,73,77,79（缺23,37,53,67）——跨距68；
或模30余17,19,29,31,41,43,47,49,59,61,71,73,77,79,89,91（缺23,37,53,67,83）——跨距74非最密；
或模30余-1,1,11,13,17,19,29,31,41,43,47,49,59,61,71,73（缺7,23,37,53,67）——跨距74非最密；共3种。

最密孪9串的可能形式是模30余11,13,17,19,29,31,41,43,47,49,59,61,71,73,77,79,89,91（缺23,37,53,67,83）——跨距80；
或模30余17,19,29,31,41,43,47,49,59,61,71,73,77,79,89,91,101,103（缺23,37,53,67,83,97）——跨距86非最密；
或模30余-1,1,11,13,17,19,29,31,41,43,47,49,59,61,71,73,77,79（缺7,23,37,53,67）——跨距80最密；共3种。

最密孪10串的可能形式是模30余11,13,17,19,29,31,41,43,47,49,59,61,71,73,77,79,89,91,101,103（缺23,37,53,67,83,97）——跨距92；
或模30余17,19,29,31,41,43,47,49,59,61,71,73,77,79,89,91,101,103,107,109（缺23,37,53,67,83,97）——跨距92最密；
或模30余-1,1,11,13,17,19,29,31,41,43,47,49,59,61,71,73,77,79,89,91（缺7,23,37,53,67,83）——跨距92最密；共3种。

附注——本贴后3种最密孪8串、孪9串、孪10串的结构形式和可能跨距都不对！前几种也不全正确！

yangchuanju

实际现已找到的9组恰10对孪生素数串的跨距没有一个是92的，       
恰10级孪生素数串之首素数       
1 3324648277099157        模30余17
2 31910610414019031        11
3 55016223757181177        17
4 58714524586913549        29
5 124129161487792607        17
6 177564738317068181        11
7 191369558592252011        11
8 199330124393114021        11
9 314398595062088219        29
它们分别是296,428,392,410,326,590,338,398,314；       
它们之中不但缺少单独（非孪生）素数，还缺少孪生素数对（模30余）11,13;17,19;29,31;41,43;47,49;59,61;77,79;89,91……中的一对或多对，       
10组孪生素数之间的9个间隙都可能如此。       

yangchuanju

第1组10级连续孪生素数串           
序号  素数  邻距  间距
1  3324648277099157  0  0
2  3324648277099159  2  2
3  3324648277099211  52  54
4  3324648277099213  2  56
5  3324648277099229  16  72
6  3324648277099231  2  74
7  3324648277099241  10  84
8  3324648277099243  2  86
9  3324648277099307  64  150
10  3324648277099309  2  152
11  3324648277099319  10  162
12  3324648277099321  2  164
13  3324648277099337  16  180
14  3324648277099339  2  182
15  3324648277099397  58  240
16  3324648277099399  2  242
17  3324648277099421  22  264
18  3324648277099423  2  266
19  3324648277099451  28  294
20  3324648277099453  2  296

第2组10级连续孪生素数串           
序号  素数  邻距  间距
1  31910610414019031  0  0
2  31910610414019033  2  2
3  31910610414019067  34  36
4  31910610414019069  2  38
5  31910610414019091  22  60
6  31910610414019093  2  62
7  31910610414019187  94  156
8  31910610414019189  2  158
9  31910610414019217  28  186
10  31910610414019219  2  188
11  31910610414019229  10  198
12  31910610414019231  2  200
13  31910610414019241  10  210
14  31910610414019243  2  212
15  31910610414019301  58  270
16  31910610414019303  2  272
17  31910610414019409  106  378
18  31910610414019411  2  380
19  31910610414019457  46  426
20  31910610414019459  2  428

第3组10级连续孪生素数串           
序号  素数  邻距  间距
1  55016223757181177  0  0
2  55016223757181179  2  2
3  55016223757181189  10  12
4  55016223757181191  2  14
5  55016223757181261  70  84
6  55016223757181263  2  86
7  55016223757181327  64  150
8  55016223757181329  2  152
9  55016223757181339  10  162
10  55016223757181341  2  164
11  55016223757181381  40  204
12  55016223757181383  2  206
13  55016223757181387  4  210
14  55016223757181389  2  212
15  55016223757181471  82  294
16  55016223757181473  2  296
17  55016223757181501  28  324
18  55016223757181503  2  326
19  55016223757181567  64  390
20  55016223757181569  2  392

第4组10级连续孪生素数串           
序号  素数  邻距  间距
1  58714524586913549  0  0
2  58714524586913551  2  2
3  58714524586913597  46  48
4  58714524586913599  2  50
5  58714524586913621  22  72
6  58714524586913623  2  74
7  58714524586913729  106  180
8  58714524586913731  2  182
9  58714524586913747  16  198
10  58714524586913749  2  200
11  58714524586913759  10  210
12  58714524586913761  2  212
13  58714524586913801  40  252
14  58714524586913803  2  254
15  58714524586913849  46  300
16  58714524586913851  2  302
17  58714524586913891  40  342
18  58714524586913893  2  344
19  58714524586913957  64  408
20  58714524586913959  2  410

第5组10级连续孪生素数串           
序号  素数  邻距  间距
1  124129161487792607  0  0
2  124129161487792609  2  2
3  124129161487792631  22  24
4  124129161487792633  2  26
5  124129161487792661  28  54
6  124129161487792663  2  56
7  124129161487792691  28  84
8  124129161487792693  2  86
9  124129161487792751  58  144
10  124129161487792753  2  146
11  124129161487792757  4  150
12  124129161487792759  2  152
13  124129161487792817  58  210
14  124129161487792819  2  212
15  124129161487792829  10  222
16  124129161487792831  2  224
17  124129161487792859  28  252
18  124129161487792861  2  254
19  124129161487792931  70  324
20  124129161487792933  2  326

第6组10级连续孪生素数串           
序号  素数  邻距  间距
1  177564738317068181  0  0
2  177564738317068183  2  2
3  177564738317068211  28  30
4  177564738317068213  2  32
5  177564738317068301  88  120
6  177564738317068303  2  122
7  177564738317068469  166  288
8  177564738317068471  2  290
9  177564738317068481  10  300
10  177564738317068483  2  302
11  177564738317068559  76  378
12  177564738317068561  2  380
13  177564738317068589  28  408
14  177564738317068591  2  410
15  177564738317068631  40  450
16  177564738317068633  2  452
17  177564738317068649  16  468
18  177564738317068651  2  470
19  177564738317068769  118  588
20  177564738317068771  2  590

第7组10级连续孪生素数串           
序号  素数  邻距  间距
1  191369558592252011  0  0
2  191369558592252013  2  2
3  191369558592252119  106  108
4  191369558592252121  2  110
5  191369558592252149  28  138
6  191369558592252151  2  140
7  191369558592252167  16  156
8  191369558592252169  2  158
9  191369558592252179  10  168
10  191369558592252181  2  170
11  191369558592252191  10  180
12  191369558592252193  2  182
13  191369558592252197  4  186
14  191369558592252199  2  188
15  191369558592252239  40  228
16  191369558592252241  2  230
17  191369558592252317  76  306
18  191369558592252319  2  308
19  191369558592252347  28  336
20  191369558592252349  2  338

第8组10级连续孪生素数串           
序号  素数  邻距  间距
1  199330124393114021  0  0
2  199330124393114023  2  2
3  199330124393114051  28  30
4  199330124393114053  2  32
5  199330124393114087  34  66
6  199330124393114089  2  68
7  199330124393114147  58  126
8  199330124393114149  2  128
9  199330124393114159  10  138
10  199330124393114161  2  140
11  199330124393114201  40  180
12  199330124393114203  2  182
13  199330124393114249  46  228
14  199330124393114251  2  230
15  199330124393114381  130  360
16  199330124393114383  2  362
17  199330124393114387  4  366
18  199330124393114389  2  368
19  199330124393114417  28  396
20  199330124393114419  2  398

第9组10级连续孪生素数串           
序号  素数  邻距  间距
1  314398595062088219  0  0
2  314398595062088221  2  2
3  314398595062088261  40  42
4  314398595062088263  2  44
5  314398595062088309  46  90
6  314398595062088311  2  92
7  314398595062088351  40  132
8  314398595062088353  2  134
9  314398595062088357  4  138
10  314398595062088359  2  140
11  314398595062088429  70  210
12  314398595062088431  2  212
13  314398595062088477  46  258
14  314398595062088479  2  260
15  314398595062088489  10  270
16  314398595062088491  2  272
17  314398595062088501  10  282
18  314398595062088503  2  284
19  314398595062088531  28  312
20  314398595062088533  2  314

白新岭

无论最密k生素数，还是最密m串k生素数的素数式，都需要检验，是否可以通过所有素数的关卡，最少剩余一个剩余类不被占用，否则这种素数式不存在，那么，最密k生素数，或者最密m串k生素数，也是不存在的。

白新岭

模式        2        3        5        7        11        13        17        19        23
0        0        0        0        0        0        0        0        0        0
2        0        2        2        2        2        2        2        2        2
6        0        0        1        6        6        6        6        6        6
8        0        2        3        1        8        8        8        8        8
18        0        0        3        4        7        5        1        18        18
20        0        2        0        6        9        7        3        1        20
30        0        0        0        2        8        4        13        11        7
32        0        2        2        4        10        6        15        13        9
36        0        0        1        1        3        10        2        17        13
38        0        2        3        3        5        12        4        0        15
48        0        0        3        6        4        9        14        10        2
50        0        2        0        1        6        11        16        12        4
60        0        0        0        4        5        8        9        3        14
62        0        2        2        6        7        10        11        5        16
wzsyl        1        1        4        5        1        1        5        4        1
wzsyl        未        占        未        占        未        3        7        7        3
wzsyl        申        占        申        占        申        占        10        9        5
wzsyl        酉        占        酉        占        酉        占        12        14        10
wzsyl        戌        占        戌        占        戌        占        戌        15        11
wzsyl        亥        占        亥        占        亥        占        亥        16        12
wzsyl        子        占        子        占        子        占        子        占        17
wzsyl        丑        占        丑        占        丑        占        丑        占        19
wzsyl        寅        占        寅        占        寅        占        寅        占        21
wzsyl        卯        占        卯        占        卯        占        卯        占        22
最密7串孪生素数式，通过了所有素数检验（共计14个式子，只要通过素数13以前的检验，就都通过了，后边即便没有重复剩余类，也最多占14个剩余类）

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2025-7-20 17:29
孪1串即普通孪生素数对，用模30余数表示有11,13；17,19；29,31三种；
最密孪2串即最密4生素数，模30余11,1 ...

孪1串即普通孪生素数对，用模30余数表示有11,13；17,19；29,31三种；只有两个素数，不可否定地说它们一定能通过素数3及3以上的所有素数检验！
最密孪2串即最密4生素数，模30余11,13,17,19一种；另两种跨距14的非最密孪2串模30余17,19,29,31（缺23）的；跨距14的非最密孪2串模30余29,31,41,43（缺37的）；都能通过素数3,5及5以上所有素数的检验！

最密孪3串的可能形式是模30余11,13,17,19,29,31（缺23）——跨距20；
或模30余17,19,29,31,41,43（缺23,37）——跨距26非最密；
或模30余-1,1,11,13,17,19（缺7）——跨距20；共3种。
只有6个素数，它们一定能通过素数3,5,7及7以上的所用素数检验，对于3,5来说各对孪生素数都与3,5互素，对于7来说只有6个余数！

最密孪4串的可能形式是模30余11,13,17,19,29,31,41,43（缺23,37）——跨距32；
或模30余17,19,29,31,41,43,47,49（缺23,37）——跨距32；
或模30余-1,1,11,13,17,19,29,31（缺7,23）——跨距32；共3种。
素数串有8数，对于3,5来说各对孪生素数都与3,5互素，对于7来说有8个余数，需逐个检验，看能不能通过素数7的检验。
经检验，均可通过素数7的检验；共8个余数，一对能通过素数11及以上所有素数的检验！

最密孪5串的可能形式是模30余11,13,17,19,29,31,41,43,47,49（缺23,37）——跨距38；
或模30余17,19,29,31,41,43,47,49,59,61（缺23,37,53）——跨距44非最密；
或模30余-1,1,11,13,17,19,29,31,41,43（缺7,23,37）——跨距44非最密；共3种。
素数串有10数，对于3,5来说各对孪生素数都与3,5互素，对于7来说有10个余数，需逐个检验，看能不能通过素数7的检验。
经检验，均可通过素数7的检验；共10个余数，一对能通过素数11及以上所有素数的检验！

最密孪6串的可能形式是模30余11,13,17,19,29,31,41,43,47,49,59,61（缺23,37,53）——跨距50；
或模30余17,19,29,31,41,43,47,49,59,61,71,73（缺23,37,53,67）——跨距56非最密；
或模30余-1,1,11,13,17,19,29,31,41,43,47,49（缺7,23,37）——跨距50最密；共3种。
素数串有12数，对于3,5来说各对孪生素数都与3,5互素，对于7、11来说有12个余数，需逐个检验，看能不能通过素数7、11的检验。
经检验，均可通过素数7、11的检验；共12个余数，一对能通过素数13及以上所有素数的检验！

最密孪7串的可能形式是模30余11,13,17,19,29,31,41,43,47,49,59,61,71,73（缺23,37,53,67）——跨距62；
或模30余17,19,29,31,41,43,47,49,59,61,71,73,77,79（缺23,37,53,67）——跨距62最密；
或模30余-1,1,11,13,17,19,29,31,41,43,47,49,59,61（缺7,23,37,53）——跨距62最密；共3种。
素数串有14数，对于3,5来说各对孪生素数都与3,5互素，对于7、11、13来说有14个余数，需逐个检验，看能不能通过素数7、11、13的检验。
经检验，第1,2组可通过素数7、11、13的检验，但第3组通不过检验，去掉与210不互素的47,49，换一对71,73，就通过3素数的检验了，但跨距变成74，不再是最密的了；
共14个余数，一对能通过素数17及以上所有素数的检验！白新岭先生给出了前两种，没有给出第三种！

先前顺着白新岭的第3,4,5,6,7孪串错误地给出——
最密孪8串的可能形式是模30余11,13,17,19,29,31,41,43,47,49,59,61,71,73,77,79（缺23,37,53,67）——跨距68；
或模30余17,19,29,31,41,43,47,49,59,61,71,73,77,79,89,91（缺23,37,53,67,83）——跨距74非最密；
或模30余-1,1,11,13,17,19,29,31,41,43,47,49,59,61,71,73（缺7,23,37,53,67）——跨距74非最密；共3种。
经用素数7,11,13检验，第1组不能通过7和13的检验，第2,3组不能通过11和13的检验。
对于第1组，将77,79换成89,91仍不行，再换成101,103便通过素数7,11,13的检验了，跨距不再是68，变成92；
对于第2组，将77,79或89,91换成101,103都可以通过素数7,11,13的检验了，跨距不再是74，变成86；
对于第3组，去掉原来的59,61；将71,73前移，后面再加上89,91，（加77,79不行）便可通过素数7,11,13的检验了，跨距不再是74，变成92。
可能还有其它形式的孪生素数串！
据此最密孪8串的可能形式是模30余17,19,29,31,41,43,47,49,59,61,71,73,77,79,101,103（缺孪89,91）——跨距86；
或最密孪8串的可能形式是模30余17,19,29,31,41,43,47,49,59,61,71,73,89,91,101,103（缺孪77,79）——跨距86！

先前顺着白新岭的第3,4,5,6,7孪串给出——
最密孪9串、最密孪10串结构形式和可能跨距也都是错误的，它们必须通得过素数3-17,3-19的检验才行！