【资料】妥园魅力SHOW之十一，夏令营题目，三角形面积之差的最大值

dodonaomikiki

原资料说，需要大量计算！
估计这种椭圆题目，
简单方法估计不存在，进行艰苦计算，
其实挺好，
只不过体力付出多一点！
脑力轻松不少

dodonaomikiki

Solution
~~~~~~~~~~
切割一部

\begin{align*}
PF1:   \frac{y-0}{x+1}&= \frac{sin\alpha}{  \sqrt{2}cos\alpha+1    }  \\
\Longrightarrow   y&=\frac{sin\alpha    (x+1)}{    \sqrt{2}cos\alpha+1  } \\





PF2:   \frac{y-0}{x-1}&= \frac{sin\alpha}{  \sqrt{2}cos\alpha-1    }  \\
\Longrightarrow   y&=\frac{sin\alpha    (x-1)}{    \sqrt{2}cos\alpha-1  } \\
\Longrightarrow   x&=\frac{y   ( \sqrt{2}cos\alpha-1)     }{    sin\alpha  } +1\\



接下来计算&y_{Q1}\\

\frac{   y^2  (  \sqrt{2}cos\alpha+1   )^2  }{  sin^2 \alpha   }-\frac{   2y (  \sqrt{2}cos\alpha+1   )  }{  sin \alpha   }+1+2y^2&=2\\
这里很有技巧！如若后面\\
直接开算y_{Q1}，是不可行的！\\
\end{align*}







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dodonaomikiki

\begin{align*}
切割二部\\
\Longrightarrow    y_{Q1}  \bullet    y_P&=    \frac{    - sin^2\alpha  }{    3+  2\sqrt{2}cos\alpha }   \\
\Longrightarrow    y_{Q1}  &=    \frac{    - sin\alpha  }{    3+  2\sqrt{2}cos\alpha }   \\
再计算&y_{Q2}\\
y^2 \bullet   \frac{ 2 cos^2\alpha-   2\sqrt{2}cos\alpha+1+ 2   sin^2\alpha      }{ sin^2\alpha   }
+ \frac{2(  \sqrt{2}cos\alpha-1  )}{ sin\alpha  }y-1&=0\\
\Longrightarrow    y_{Q2}  \bullet    y_P&=    \frac{    - sin^2\alpha  }{    3-  2\sqrt{2}cos\alpha }   \\
\Longrightarrow    y_{Q2} & =    \frac{    - sin\alpha  }{    3-  2\sqrt{2}cos\alpha }   \\



\end{align*}







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dodonaomikiki

\begin{align*}
切割三部\\



Area(PF1Q2)-Area(PF2Q1)\\
&=\frac{a+a}{2}  \bullet   \Bigg|      y_{Q2} -    y_{Q1}      \Bigg|    \\      
&= \Bigg|    \frac{ -sin\alpha  }{  3- 2\sqrt{2} cos\alpha   }  +  \frac{ sin\alpha  }{  3+ 2\sqrt{2} cos\alpha   }        \Bigg|    \\   

&=  \Bigg|   \frac{ sin\alpha(-3 -2\sqrt{2} cos\alpha   +3-2\sqrt{2} cos\alpha   )    }{9-8 cos^2\alpha  }           \Bigg|    \\   
&= \Bigg|     \frac{ -2\sqrt{2} \bullet   2 cos\alpha sin\alpha      }{9-8 cos^2\alpha  }             \Bigg|    \\   

&= \Bigg|       \frac{ 2\sqrt{2} \bullet   sin2\alpha      }{9-8 cos^2\alpha  }             \Bigg|    \\   

&=  \frac{ 2\sqrt{2} \bullet   sin2\alpha      }{9-8 cos^2\alpha  }   \\



计算中涉及到的一个知识点：\\
附注
Cauz\\
cos2\alpha &=2cos^2\alpha -1\\
\Longrightarrow    8cos^2\alpha& =4cos2\alpha+4\\
&= \frac{ 2\sqrt{2} sin2\alpha      }{5-4cos2\alpha  }   \\
&=\frac{ \sqrt{2}   }{5   }











\end{align*}







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dodonaomikiki

\begin{align*}
切割四部\\
2\sqrt{2}  t    &=(5-   4\sqrt{1-t^2})k\\
&=5k-4k\sqrt{1-t^2}\\
\Longrightarrow      16k^2(1-t^2)&=25k^2-2 \bullet   5k \bullet       2\sqrt{2}t+8t ^2\\
&=25k^2-    20\sqrt{2}kt+8t ^2\\
\Longrightarrow    16k^2-16k^2t^2&=25k^2-    20\sqrt{2}kt+8t ^2\\
(8+  16k^2 )t^2-  20\sqrt{2}kt+9k^2&=0\\
Cauz     \qquad    \Delta \succ  0\\
\Longrightarrow     400   \bullet  2k^2  -4    \bullet   9k^2   (8+  16k^2 )&=0\\
800-36 (8+  16k^2 )&=0\\
100-36 (1+  2k^2 )&=0\\
25-9(1+2 k^2 )&=0\\
25&=9+18k^2 \\
k&=\sqrt{    \frac{16}{18}}=\frac{4}{    2\sqrt{3}}=\frac{2}{    \sqrt{3}}\\
附注：过程中，有一个问题\\
为何   cos2\alpha&=\sqrt{1-t^2}?\\
而非   cos2\alpha&=-\sqrt{1-t^2}?\\
Cauz   由等式  の 形式  可见，\\
要取得最大值，  必然要求cos2\alpha   \succ  0\\








\end{align*}







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dodonaomikiki

面积差取到最大时，
本来以为点P应该
处于比较偏的位置，
大概靠近左右两个端点，
但实际上不是！



想不到，
是这样的一个图形

dodonaomikiki

本来预想的图形，
是这样的

dodonaomikiki

最不济，
是这样的

dodonaomikiki

评估错误来源：

1、  绘图错误
2、计算错误
3、哪方面的理解，或许发生拉错误！

dodonaomikiki

甚至考虑到这种情形，
感觉也不对