x 为大于 0 小于 13 的实数，求 √(27+x)+√(13-x)+√x 的最大值

H2L

单变量柯西不等式求最值问题系数如何配凑

比如用柯西不等式求√(27+x)+√(13-x)+√(x)最大值为什么配231的系数

H2L

待定系数的话会有四次项

Nicolas2050

利用柯西不等式求最值的基本要点:
1)不等式放缩后是常数;
(2)各步放缩等号成立的条件互不矛盾.

H2L

Nicolas2050 发表于 2023-8-7 15:18
利用柯西不等式求最值的基本要点:
1)不等式放缩后是常数;
(2)各步放缩等号成立的条件互不矛盾.

对呀 就是感觉系数不好凑

Nicolas2050

柯西不等式求最值过程

天山草

对于这个单变量函数，与其用柯西不等式求极值，不如求导更简便。

cgl_74

点评一下此题的2种解法
一、导数法是最基础和本质的方法，通用性强，熟练掌握后可解各种问题。此题不但可以求最小值，还可以求最大值。
需要注意的点，此函数是闭区间上连续可导函数，其必有最大值和最小值，可能位于2个端点或导数为0的位置。需要找出来逐一比较。
其次，导数为0，需要解高次方程所有解，不能只猜到一个简单解就下结论。

二、柯西不等式的针对性强，此处用于求最大值。其待定系数，也要解一个高次方程组，不一定容易。但好处是，只需要找到一组合理解即可，不用求所有解。此题比较容易猜到一组合理解。

wintex

可求最小值嗎

cgl_74

可以的啊！
1、将该函数定义为[0, 13]闭区间；其函数在此闭区间连续可导，则在此区间必有最大值最小值；最值分布在2个端点和导数为0处。
2、假设导数为0时的解只有一个，为x=9（我没验证过，假设如此）。那么f(0) = 27^0.5+13^0.5; f(13) = 40^0.5 +13^0.5; f(9) = 11. 则该函数的最大值为f(9) =11; 最小值为f(0)。
3、如果函数定义域为开区间(0, 13)，该函数最大值为f(9) =11; 没有最小值，但是当x->0时，其值逼近27^0.5+13^0.5

wintex

參考資料