一圆被两条相互垂直直线分为四部分，三个部分的面积是 25,20 和 12，求剩下部分的面积

H2L

一个圆被两条相互垂直的直线分为4个部分，其中三个部分的面积是25,20和12，那么剩下的那个部分面积是多少？

天山草

王守恩

天山草 发表于 2023-8-11 07:38
用牛顿切线法 (FindRoot 指令) 可求得此方程组的精确到任意位的数字解：
方程中 R 表示圆的半径，若圆心 ...

1, 这不是答案：R^2*pi=3.802963^2*pi≠S+12+20+25
2, S=20至少是答案：PO是∠APB的角分线。
3, 如何证明PO肯定是∠APB的角分线，我说不好。

天山草

2# 的做法复杂了，高明的方法见 creasson 在如下网址帖子中给出的解答：
（其结果与 2# 中的一样，都是 S≈15.385148055088713425000041075119892784335705266274）
https://bbs.emath.ac.cn/thread-19043-1-1.html

cgl_74

虽然计算机进行计算求解很重要，但逻辑也重要。第一步，起手式，分类就不全。面积分布是否有其他分布呢？或者证明之。比如25与20和12共边呢？

cgl_74

cgl_74 发表于 2023-8-11 14:45
虽然计算机进行计算求解很重要，但逻辑也重要。第一步，起手式，分类就不全。面积分布是否有其他分布呢？或 ...

王守恩

cgl_74 发表于 2023-8-12 05:11

1个圆被2条相互垂直的直线分为4部分, 其中3部分面积是12,20,25, 那么剩下部分面积S是多少？

先固定左上角=S, S的对面右下角(S2)有3种情况, 且我们总可以约定右上角(S1)<左下角(S3)。

(1),右下角=12, 右上角=20, 左下角=25, S=38.7705363, R=5.52129591,

(2),右下角=20, 右上角=12, 左下角=25, S=15.3851481, R=4.80009461,

(3),右下角=25, 右上角=12, 左下角=20, S=9.22576008, R=4.59133032,

1. Block[{S1=20,S2=12,S3=25},FindRoot[{2(S1+S2)/(2a-Sin[2a])==2(S1+S)/(2b-Sin[2b])==(S1-S2+S3-S)/(4Cos[a]Cos[b])==Pi*R^4/(S1+S2+S3+S)==R^2},{{R,4},{S,S1},{a,1},{b,1}},WorkingPrecision->9]]
   
2. Block[{S1=12,S2=20,S3=25},FindRoot[{2(S1+S2)/(2a-Sin[2a])==2(S1+S)/(2b-Sin[2b])==(S1-S2+S3-S)/(4Cos[a]Cos[b])==Pi*R^4/(S1+S2+S3+S)==R^2},{{R,4},{S,S1},{a,1},{b,1}},WorkingPrecision->9]]
   
3. Block[{S1=12,S2=25,S3=20},FindRoot[{2(S1+S2)/(2a-Sin[2a])==2(S1+S)/(2b-Sin[2b])==(S1-S2+S3-S)/(4Cos[a]Cos[b])==Pi*R^4/(S1+S2+S3+S)==R^2},{{R,4},{S,S1},{a,2},{b,1}},WorkingPrecision->9]]

复制代码

cgl_74

王守恩 发表于 2023-8-17 12:03
1个圆被2条相互垂直的直线分为4部分, 其中3部分面积是12,20,25, 那么剩下部分面积S是多少？

先固定左 ...

是的，有3种可能的结果。用计算机做，3种结果用类似方法。