梅森素数判断:求证:\(2^m-1＝p\)

太阳

已知:整数\(a＞0\)，\(2^c-1＝m\)，\(\frac{2^m-2}{m-1}＝a\)，素数\(c＞0\)，\(m＞0\)，\(p＞0\)
求证:\(2^m-1＝p\)

cz1

cz1

yangchuanju

根据费马小定理，当p是奇素数时，2^p-1除以p余1，或2^(p-1)-1除以p余0，即2(p-1)-1总可以被p整除。
2^p-2=2*[2^(p-1)-1]总可以被奇素数p整除，它一般不会再被p-1整除。

依命题条件和所求结论，m和p都是素数，2^m-1是一个梅森数，又是一个梅森素数；
一般来说，命题要求的m是不存在的！
例m=5，2^5-2=30，不能被5-1=4整除；
m=11，2^11-2=2022，不能被11-1=10整除；
m=13，2^13-2=4094，不能被13-1=12整除；……

特例，令m=2，2^2-2=2是可以被m-1=1整除的；且整除商等于2，2的确是一个素数！
令m=3，2^3-2=6是可以被m-1=2整除的；整除商等于3，3的确也是一个素数！
令m=7，2^7-2=126是可以被m-1=6整除的；整除商等于21，7的确也是一个素数！
令m=127，2^127-2=170141183460469231731687303715884105726<39>是可以被m-1=126整除的；整除商等于1350326852860866918505454791395905601，127的确也是一个素数！
令m=170141183460469231731687303715884105727<39>，2^170141183460469231731687303715884105727<39>-2还可以被m-1整除吗？

太阳

借助梅森素数寻找梅森素数公式找到了

yangchuanju

太阳 发表于 2023-8-10 07:43
借助梅森素数寻找梅森素数公式找到了

令m=17，2^17-2=131070不能被m-1=16整除；2^17-1=131071是梅森素数；
令m=19，2^19-2=524286能被m-1=18整除；2^19-1=524287是梅森素数；
令m=23，2^23-2=8388607不能被m-1=22整除；2^23-1=8388607不是梅森素数；
令m=29，2^29-2=536870910不能被m-1=28整除；
令m=31，2^31-2=2147483646<10>不能被m-1=30整除；2^31-1=2147483647<10>是梅森素数；
令m=37，2^37-2=137438953470<12>不能被m-1=36整除；
令m=41，2^41-2=2199023255550<13>不能被m-1=40整除；
令m=43，2^43-2=8796093022206<13>能被m-1=42整除；2^43-1=8796093022207<13>不是梅森素数；
令m=47，2^47-2=140737488355326<15>不能被m-1=46整除；
令m=53，2^53-2=9007199254740990<16>不能被m-1=52整除；
令m=59，2^59-2=576460752303423486<18>不能被m-1=58整除；
令m=61，2^61-2=2305843009213693950<19>不能被m-1=60整除；2^61-1=2305843009213693951<19>是梅森素数；
令m=67，2^67-2=147573952589676412926<21>不能被m-1=66整除；
……
能整除的可能是梅森素数，也可能不是梅森素数；
不能整除的可能是梅森素数，也可能不是梅森素数！
太阳先生的素数公式有屁用？

太阳先生毕生致力于素数研究素数，试图总结出一些素数公式，不想至今未果！
时至今日，仍然不甘罢休，现又抛出一些类似于小孩子们过家家的题目，
如此作弄网友，太阳先生能心安理得吗？

太阳

梅森素数，3，7，31，127，8191，131071，524287
(2^3-2)/2，整除，2^3-1是素数，(2^7-2)/6，整除，2^7-1是素数，(2^127-2)/126，整除，2^127-1是素数
可以整除，判断是素数
(2^8191-2)/8190，不能整除，2^8191-1无法判断是否为素数？

yangchuanju

太阳 发表于 2023-8-10 09:25
梅森素数，3，7，31，127，8191，131071，524287
(2^3-2)/2，整除，2^3-1是素数，(2^7-2)/6，整除，2^7-1 ...

2^8191-1<2466>=
338193759479<12>*210206826754181103207028761697008013415622289<P45>*7671531593...37<C2410>

yangchuanju

2^131071-1<39457>=
231733529*64296354767<11>*1347058468...29<C39438>

2^524287-1<157827>=
62914441*5746991873407<13>*2106734551102073202633922471<28>*824271579602877114508714150039<30>*65997004087015989956123720407169<32>*3132862911...61<U157717>

太阳

已知:整数\(a＞0\)，\(\frac{2^c-2}{c-1}＝a\)，奇数\(c＞0\)，素数\(p＞0\)
求证:\(c＝p\)