费马小定理 与 梅森数

yangchuanju

转引自蔡家雄帖

费马小定理 与 梅森数，

若 p 是素数，则 (2^p -2) 必能被 p 整除。

梅森数 m13=2^13-1=8191 是素数，但双梅森数 mm13=2^8191-1 是合数。

梅森数 m17=2^17-1=131071 是素数，但双梅森数 mm17=2^131071-1 是合数。

梅森数 m19=2^19-1=524287 是素数，但双梅森数 mm19=2^524287-1 是合数。

梅森数 m31=2^31-1=2147483647 是素数，但双梅森数 mm31=2^2147483647-1 是合数。

yangchuanju

转引自太阳帖

(2^170141183460469231731687303715884105727 -2)
必能被 170141183460469231731687303715884105727 整除
这是如何确定整除？

(2^2147483647 -2) 必能被 2147483647 整除，但 数学家证明了 2^2147483647 -1 是合数
这个合数的素因子找到了吗？

yangchuanju

转引自yangchuanju点评：

费马小定理说：若 p 是素数，则2^(p-1) -1必能被 p 整除；分子乘以2仍能整除，即2^p-2必能被p整除。

费马小定理的逆命题不成立，若2^p-1能被p整除，则p不一定都是素数，这里p是素数，2^340-1能被341整除，但341=11*31不是素数；341被称为“费马伪素数”。

不知何因，太阳先生突然对2^p-2与p-1产生兴趣，认为2^p-2能被p-1整除，p就是素数——错、错、错！

yangchuanju

梅森数 m127=2^127-1=170141183460469231731687303715884105727 是素数，
但双梅森数 mm127=2^（2^170141183460469231731687303715884105727 -1）-1 是合数还是素数，至今不知晓。

太阳

太阳

5楼帖子
yangchuanju先生，能找到一个反例？

太阳

例1: 素数\(k＝571\)，\(\frac{k-1}{2^a}＝\frac{571-1}{2^1}＝3\times95\)，\(c＝3\)，\(d＝2\)，\(2^dc+1＝13\)
\(\frac{2^{571}-1}{6969336604531667168509871230100794095801832527002849548226132675916172927}＝t\)

\(\frac{6969336604531667168509871230100794095801832527002849548226132675916172927-1}{13}＝h\)
判断6969336604531667168509871230100794095801832527002849548226132675916172927是素数

yangchuanju

太阳 发表于 2023-8-11 09:39
5楼帖子
yangchuanju先生，能找到一个反例？

太阳  素数新公式  试证：m＝y
1楼
已知：整数a＞0，b＞0，d＞1，h＞0，m＞1，t＞0，2^k-1＞m，(k-1)/2^a＝bc
(2^k-1)/m＝t，(m-1)/(2^d*c+1)＝h，素数c＞2，k＞0，y＞0，2^d*c+1
求证：m＝y

太阳先生（昌建先生）一直理直气壮地声称，不存在反例；
然太阳先生仅仅给出一个正面的例子2^571-1。
究竟有多少符合太阳条件的梅森数呢？
经苦苦搜寻，确实找到了另一个符合太阳条件的梅森数，处于保密的需要，暂时不予公布。

下面是一个重型炸弹——已经完全炸倒并推翻了太阳……

2^191-1<58>=3138550867693340381917894711603833208051177722232017256447=383×7068569257<10>×39940132241<11>×332584516519201<15>×87274497124602996457<20>
k=191,  k-1=190=2*5*19,  (k-1)/2^a=5*19,  a=1,  b=19,  c=5,  d=3,  2^d*c+1=2^3*5+1=41
将梅森数分解式的第1和第4素因子合到一起为
383×332584516519201=127379869826853983，令其等于m；
则(2^k-1)/m=24639300322409946676896379466322482778209=t（整除）
m-1=127379869826853982=2*13*19*41*73*191*2903*155377，分解式中含有素因子41，可以被2^d*c+1=41整除；
然而m不是素数呀！M=127379869826853983=383×332584516519201呀！