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y=f(x) 曲线上 P 点曲率等于 PQ 的倒数,Q 是过 P 点法线与 x 轴的交点,求 y=f(x)

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发表于 2023-8-15 11:36 | 显示全部楼层 |阅读模式
在上半平面求一条向上凹的曲线, 其上任一点Pc,J)处 在曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法 线与≈轴的交点), 且曲线在(1,1)处的切线与c轴平行。请教一下我的解法错在哪里
 楼主| 发表于 2023-8-15 11:54 | 显示全部楼层
身边没有电脑只有这样发图片了不好意思


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 楼主| 发表于 2023-8-15 11:57 | 显示全部楼层
Q是法线与x轴的交点
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发表于 2023-8-16 17:54 | 显示全部楼层


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 楼主| 发表于 2023-8-20 15:32 | 显示全部楼层

谢谢陆老师,我已经知道了我的解法错误在哪点有问题了,我刚刚看您的解法学习时,好像有点问题,曲线上凹它二次函数应该大于零好像
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发表于 2023-8-20 17:42 | 显示全部楼层
象 y=x^2 这样中间向下弯垂的曲线,称为“下凹”,二阶导数为正值。

象 y=-x^2 这样中间向上拱起的曲线,称为“上凹”,二阶导数为负值。

按照中文的习惯,中间向上拱起的“上凹”曲线,称为“上凸”更适当一些,

但是在外文中,不管是向下弯还是向上拱,他们都称为“凹”,只是用“上、下”来作区别。

本题中就是沿用了外文中的说法,把“上凸”说成了“上凹”,

所以本题中的二阶导数是负值。
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发表于 2023-8-22 11:28 | 显示全部楼层
在已知曲线上凹(即上凸)的情况下,微分方程为 1+(y')^2=-yy'' ,y(1)=1,y'(1)=0 。

这时,可以解得 y=√(1-x^2) ,曲线是一个圆心为 (1,0)、半径为 1 的上半圆。

如果已知曲线不是上凹,而是下凹,微分方程为 1+(y')^2=yy'' ,y(1)=1,y'(1)=0 。

这时,又可以得到什么样的解?曲线又是什么样的曲线呢?请看下面的帖子:




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发表于 2023-8-22 11:50 | 显示全部楼层
还要说明一点,在第 2 楼的帖子中,对微分方程  y y''=1+y'^2  的解法是不对的。

解答过程中有一步是  (y y''-y'^2)/y^2 = 1/y^2  => (y'/y)' = (-1/y)’  。

其中误以为有   (-1/y)' = 1/y^2 ,其实,(-1/y)' = y'/y^2 1/y^2 。

所以,后面再做下去就都不对了。

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