为什么集合 A, 其幂集定义为\(2^{A }\) := {A 的所有子集}，则必有A ∈ \(2^{A }\)?

wufaxian

出处：东南大学李逸教授 基本分析讲义（第一卷）.pdf(8/1/2023,第三次全面修订) P8


给定一个集合 A, 其幂集 (power set) 定义为\(2^{A }\) := {A 的所有子集}.根据定义显然有 A ∈ \(2^{A }\)

比如A={1}, 那么1\(\notin2^{A}\)

luyuanhong

集合 A 的幂集（A 的所有子集组成的集合）记为 2^A ，这是一个记号，与数字的幂运算没有关系。

例如：A={1,2,3} ，则 2^A={ { },{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3} } 。

又如：A={黑,白} ，则 2^A={ { },{黑},{白},{黑,白} } 。

lihp2020

A={1}   【2**A】={空，{1}}
  {1} ∈{空，{1}}
A∈【2**A】

wufaxian

lihp2020 发表于 2023-8-21 07:44
A={1}   【2**A】={空，{1}}
  {1} ∈{空，{1}}
A∈【2**A】

谢谢回复。有几点没看懂
1、在你的回复中【2**A】 就是\(2^{ A}\) 吧？
2、如果A={1} ，那么【2**A】={空，{2}} 么？ 这点我没理解。

lihp2020

1ok
2 如果A={1} ，那么【2**A】={空，{2}} 错误
【2**A】={空，{1}}

wufaxian

luyuanhong 发表于 2023-8-21 08:51
集合 A 的幂集（A 的所有子集组成的集合）记为 2^A ，这是一个记号，与数字的幂运算没有关系。

例如：A= ...

谢谢lu老师的讲解。看过lu老师的讲解，这个疑问已经解决。

但是明明就是A全体子集，为什么非要起个“幂集”的名字。而且还要写成\(2^{A }\)的形式？这是有什么伏笔么？必须是2么？可以是任意自然数么？

luyuanhong

当 A 中的元素个数为 n 时，幂集 2^A 中的元素个数就是 2^n 。

可能这就是将幂集表示为 2^A 的原因。