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本帖最后由 朱明君 于 2023-11-24 13:22 编辑
\(朱火华勾股数组通解公式\)
\(设\left( \frac{x}{2}\right)^2=mn{,}其中x为\ge4的偶数，且m>n{,}\ mn均为正整数，\)
\(x<\left( m-n\right){,}\ x为勾=a，m-n为股=b{,}\ \ m+n为弦=c{,}\)
\(x>\left( m-n\right){,}\ x为股=b{,}\ \ m-n为勾=a{,}\ \ m+n为弦=c{,}\)
\(则a^2+b^2=c^2\)
\(这个公式是我研究出来的，解决了古今中外数学家勾股不分，a b不分的问题，\)
\(勾股定理的定义是短边为勾，长边为股，斜边为弦。\)
\(设(x/2)^2=mn，其中x为大于等于4的偶数，且m﹥n，mn均为正整数，\)
\(则x^2+(m-n)^2=(m+n)^2\)
\(设x=mn，其中x为大于等于3的奇数，且m>n，mn均为正整数，\)
\(则x^2十[(m^2-n^2)/2]^2=[(m^2+n^2)/2]^2\)
\(设x=m+n，其中x为大于等于2的正整数，且mn均为正整数，\)
\(则[m(x+n)]^2+(2xn)^2=(x^2+n^2)^2\)
\(设x=m+n，其中x为大于等于3的正整数，且m>n，mn均为正整数，\)
\( 则[x(m-n)]^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2\)
(第1题)
\(设(x/2)^2=mn{,}其中x为\ge4的偶数，且m>n{,}\ mn均为正整数，\)
\(则x^2+(m-n)^2=(m+n)^2\)
\(若m n一奇一偶没有大于1的公倍数\)，
\(则x^2+(m-n)^2=(m+n)^2为勾股数本原解数组。\)
\(计算n的方法，是由分解(x/2)^2得到，\)
\((x/2)^2=1\times F_1^{n1}\times F_2^{n2}\times\cdots\times F_n^{nn}{,}\ 其中F为质因数，\)
\(取这些因数重组小于(x/2)的数积为n。(x/2)^2/n=m。\)
\(详解：根据(x/2)^2=1\times F_1^{n1}\times F_2^{n2}\times\cdots\times F_n^{nn}{,}首先计算出1和全部质因数各自从\)
\(1到n次方的积数，去掉大于等于(x/2)的积数后重组，(同底数的数不能重组)\)
\(再去掉大于等于(x/2)的积数，余下的数为n。\)
\(实例：计算x=60的全部勾股数，\)
\((60/2)^2=900=1\times2^2\times3^2\times5^2{,}\)
\(1^1=1{,}\ \ 2^1=2{,}\ \ 3^1=3{,}\ \ 5^1=5{,}\)
\(2^2=4{,}\ \ 3^2=9{,}\ \ 5^2=25{,}\)
\(2\times3=6{,}\ 2\times5=10{,}\ \ 3\times4=12{,}\ \ 3\times5=15{,}\ \ 2\times9=18{,}\ \ 4\times5=20{,}\)
\(即n小于30的数有1，2，3，4，5，6，9，10，12，15，18，25。(13个)\)
\(根据公式(X/2)^2/n=m。\)
\(所以\)
\(n=1, m=900。 n=2，m=450。 n=3， m=300。 n=4， m=225。\)
\(n=5， m=180。 n=6，m=150。 n=9， m=100。 n=10，m=90。\)
\(n=12，m=75。 n=15, m=60。 n=18，m=50。 n=20，m=45。\)
\(n=25，m=36。\)
\(代入公式得：\)
\(60^2+(900-1)^2=(900+1)^2(本原解）\)
\(60^2+(450-2)^2=(450+2)^2\)
\(60^2+(300-3)^2=(300+3)^2\)
\(60^2+(225-4)^2=(225+4)^2(本原解）\)
\(60^2+(180-5)^2=(180+5)^2\)
\(60^2+(150-6)^2=(150+6)^2\)
\(60^2+(100-9)^2=(100+9)^2(本原解）\)
\(60^2+(90-10)^2=(90+10)^2\)
\(60^2+(75-12)^2=(75+12)^2\)
\(60^2+(60-15)^2=(60+15)^2\)
\(60^2+(50-18)^2=(50+18)^2\)
\(60^2+(45-20)^2=(45+20)^2\)
\(60^2+(36-25)^2=(36+25)^2(本原解）\)
\(实例：\)
\((x/2)^2=mn，代入公式得(勾，股，弦)\)
\((4/2)^2=4\times1，(3，4，5)(本原解）\)
\((6/2)^2=9\times1，(8，6，10)(本原解）\)
\((8/2)^2=16\times1，(15，8，17)(本原解）\)
\((8/2)^2=8\times2，(6，8，10)\)
\((10/2)^2=25\times1，(24，10，26)(本原解）\)
\((12/2)^2=36\times1，(35，12，37)(本原解）\)
\((12/2)^2=18\times2，(16，12，20)\)
\((12/2)^2=12\times3，(9，12，15)\)
\((12/2)^2=9\times4，(5，12，13)(本原解）\)
\((14/2)^2=49\times1，(48，14，50)\)
\(\cdots\cdots。\)
(第2题)
\(设x^2=mn，(其中X为\ge3的奇数){,}且m>n{,}\ m{,}n均为正整数，\)
\(则x^2+[(m-n)/2]^2=[(m+n)/2]^2。\)
\(若mn没有大于1的公约数，\)
\(则x^2+[(m-n)/2]^2=[(m+n)/2]^2为勾股数本愿解数组。\)
\(计算n的方法，是由分解X^2得到，\)
\(X^2=1\times F_1^{n1}\times F_2^{n2}\times\cdots\times F_n^{nn}{,}(其中F为质因数)\)
\(取这些因数重组小于X的数积为n{,}(X^2)/n=m。\)
\(详解：根据X^2=1\times F_1^{n1}\times F_2^{n2}\times\cdots\times F_n^{nn}，首先计算出1和全部质因数各自从1到n次方的积数，\)
\(去掉大于等于X的积数后重组，(同底数的数不能重组)再去掉大于等于X的积数，余下的数为n。\)
\(实例：计算X=15时全部勾股数\)
\(X=15{,}\ \ 15^2=1\times3^2\times5^2{,}\)
\(1^1=1{,}\ \ 3^1=3{,}\ \ 5^1=5{,}\)
\(3^2=9{,}\ \ 5^2=25{,}\)
\(即n小于15的数有1，3，5，9。(4个)\)
\(根据公式X^2/n=m。\)
\(所以n=1{,}\ \ m=225。n=3，m=75。n=5，m=45。n=9，m=25。\)
\(代入公式得：\)
\(15^2+[(225-1)/2]^2=[(225+1)/2]^2(本原解）\)
\(15^2+[(75-3)/2]^2=(75+3)/2]^2\)
\(15^2+[(45-5)/2]^2=[(45+5)/2]^2\)
\(15^2+[(25-9)/2]^2=[(25+9)/2]^2(本原解）\)
\(实例：\)
\(x^2=mn，代入公式得(勾，股，弦)\)
\(3^2=9\times1，(3，4，5)(本原解）\)
\(5^2=25\times1，(5，12，13)(本原解）\)
\(7^2=49\times1，(7，24，25)(本原解）\)
\(9^2=81\times1，(9，40，42)(本原解）\)
\(9^2=27\times3，\left( 9，12，15\right)\)
\(11^2=121\times1，(11，60，61)(本原解）\)
\(13^2=169\times1，(13，84，85)(本原解）\)
\(15^2=225\times1，(15，112，113)(本原解）\)
\(15^2=75\times3，(15，36，39)\)
\(15^2=45\times5，(15，20，25)\)
\(15^2=25\times9，(15，8，17)(本原解）\)
\(\cdots\cdots。\)
(第3题)
\(3X为勾全部解的解数公式\)
\(计算全部解的解数方法，是由分解X质因数中的指数得到，与底数无关。\)
\(X=F_1^{n1}\times F_2^{n2}\times\cdots\times F_n^{nn}{,}(其中X为\ge3的正整数，F为质因数，n为指数)\)
\(设X为勾全部解的解数为L,指数的对应数为2n+1。\)
\(则X(奇数），L=[(2n_1+1)(2n_2+1)\dots(2n_n+1)-1]/2\)
\(则X(偶数），L=[(2n_1+1-2)(2n_2+1)\dots(2n_n+1)-1]/2\)
\(实例X=15{,}\ \ 15=3^1\times5^1{,}\)
\(代入公式得[(2×1+1)×(2×1+1)-1]/2=4组。\)
\(实例：X=60{,}\ \ 60=2^2\times3^1\times5^1{,}\)
\(代入公式得 [(2×2+1-2)×(2×1+1)×(2×1+1)-1]/2=13组，\)
(第4题)
\(设x=m+n，其中x为\ge2的正整数，且mn均为正整数，\)
\(则[m(x+n)]^2+(2xn)^2=(x^2+n^2)^2，\)
\(若(x+n)是奇数，且与m互质，\)
\(则[m(x+n)]^2+(2xn)^2=(x^2+n^2)^2为勾股数本原解数组。\)
\(实例：\)
\(x=m+n，代入公式得(勾，股，弦)\)
\(2=1+1， (3， 4，5) (本原解）\)
\(3=1+2， (5，12，13) (本原解）\)
\(3=2+1， (8，6，10) \)
\(4=1+3， (7，24，25) (本原解）\)
\(4=2+2， (12，16，20)\)
\(4=3+1， (15，8，17) (本原解）\)
\(5=1+4， (9，40，41) (本原解）\)
\(5=2+3， (16，30，34)\)
\(5=3+2， (21，20，29) (本原解）\)
\(5=4+1， (24，10，26)\)
\(6=1+5， (11，60，61) (本原解）\)
\(6=2+4， (20，48，52) \)
\(6=3+3， (27，36，45) \)
\(6=4+2， (32，24，40)\)
\(6=5+1， (35，12，37) (本原解）\)
\(\cdots\cdots。\)
(第5题)
\(设x=m+n，其中x为大于等于3的正整数，且m<n<x, x m n均为正整数，\)
\(则[x(n-m)]^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2\)
\(若x是奇数，且m与n互质,\)
\(则[x(n-m)]^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2为勾股数本原解数组。\)
\(实例：\)
\( x=m+n，代入公式得(勾，股，弦)\)
\(3=1+2， (3， 4， 5) (本原解） \)
\(4=1+3， (8，6，10)\)
\(5=1+4， (15，8，17) (本原解）\)
\(5=2+3， (5，12，13) (本原解）\)
\(6=1+5， (24，10，26)\)
\(6=2+4， (12，16，20)\)
\(7=1+6， (35，12，37) (本原解）\)
\(7=2+5， (21，20，29) (本原解）\)
\(7=3+4， (7，24，25) (本原解）\)
\(8=1+7， (48，14，50) \)
\(8=2+6， (32，24，40)\)
\(8=3+5， (16，30，34)\)
\(\cdots\cdots。\)
(第6题)
\(连续平方和趣题：\)
\(求出n+1个连续平方数之和等于n个连续平方数之和的通解公式。\)
\(3^2+4^2=5^2\)
\(10^2+11^2+12^2=13^2+14^2\)
\(21^2+22^2+23^2+24^2=25^2+26^2+27^2\)
\(36^2+37^2+38^2+39^2+40^2=41^2+42^2+43^2+44^2\)
\(\cdots\cdots。\)
\(左边n+1个连续平方数之和=右边n个连续平方数之和，其通解公式如下：\)
\(左右共有2n+1个连续正整数，第1个正整数是n(2n+1), \)
\(最后1个正整数是n(2n+3),中间数是n(2n+1)+n。\)
\(设n为大于等于1的正整数，x为连续正整数中的第n个正整数，且x小于等于(2n+1)，\)
\(则a(x)=n(2n+1)+\left( x-1\right){,}\)
(第7题)
\(设x=(a+b+…+n)为大于等于3的奇数，\)
\((a^2+b^2+\cdots+n^2)为y，其中abn均为正整数，\)
\(则a^2+b^2+\cdots+n^2+\left\{ \frac{(x^2-1)}{2}-\frac{(x^2-y)}{2}\right\}^2=\left\{ \frac{(x^2+1)}{2}-\frac{(x^2-y)}{2}\right\}^2\)
\(实例：x=5{,}\ \ \ \ \ 5^2+12^2=13^2{,}\)
\(5=1+1+1+1+1{,}代入公式得1^2+1^2+1^2+1^2+1^2+2^2=3^2，\)
\(5=1+1+1+2{,}代入公式得1^2+1^2+1^2+2^2+3^2=4^2，\)
\(5=1+1+3{,}代入公式得1^2+1^2+3^2+5^2=6^2，\)
\(5=1+2+2{,}代入公式得1^2+2^2+2^2+4^2=5^2，\)
\(5=1+4{,}代入公式得1^2+4^2+8^2=9^2，\)
\(5=2+3{,}代入公式得2^2+3^2+6^2=7^2，\)
简化公式：
\(设(a^2+b^2+\cdots+n^2)=x{,}其中(a+b+\cdots+n)为大于等于3的奇数，且abnx均为正整数，\)
\(则a^2+b^2+\cdots+n^2+\left\{ \frac{(x-1)}{2}\right\}^2=\left\{ \frac{(x+1)}{2}\right\}^2\)
(第8题)
\(设x为任意正整数，\)
\(则x^2+(x+1)^2+[x(x+1)]^2=[x(x+1)+1]^2。\)
\(x=1{,}代入公式得，1^2+2^2+2^2=3^2，\)
\(x=2{,}代入公式得，2^2+3^2+6^2=7^2，\)
\(x=3{,}代入公式得，3^2+4^2+12^2=13^2，\)
\(x=4{,}代入公式得，4^2+5^2+20^2=21^2\)
\(\cdots\cdots。\)
(第9题)
\(设x为大于等于2的正整数，n为任意正整数，x又为公式中的前项个数，\)
\(则x^n+x^n+\cdots+x^n=x^{(n+1)}){,}\ \ \ \ \ \ \ 简化公式：x(x^n)=x^{(n+1)}\)
\(x=2{,}代入公式得，2^n+2^n=2^{(n+1)，}，\)
\(x=3{,}代入公式得，3^n+3^n+3^n=3^{(n+1)}，\)
\(x=4{,}代入公式得，4^n+4^n+4^n+4^n=4^{(n+1)，}，\)
\(\cdots\cdots。\)
(第10题)
\(兔子数列中的勾股数\)
\(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,\)\(\cdots\cdots。\)
\(①，设兔子数列中的任意四个连续的兔子数:\)
\(第一个为a,第二个为b,第三个为c,第四个为d, \)
\(则(ad)^2+(2bc)^2=(b^2+c^2)^2\)
\(②，设兔子数列中的任意3个连续的兔子数，\)
\(第1个为a，笫2个为b，第3个为c，\)
\(则[a(b+c)]^2+(2bc)^2=(b^2+c^2)^2，\)
(第11题)
\(设n为大于等于2的正整数\)
则\(\left[ \left( 2^n-1\right)^n\right]^{n-2}+\left[ \left( 2^n-1\right)^{n-1}\right]^{n-1}=\left[ 2\times\left( 2^n-1\right)^{n-2}\right]^n\)
(第12题)
\(设a为大于等于3的正整数，则\)
\(\left( \left( a^n-5\right)^{4n}\right)^{n-1}+\left( \left( a^n-5\right)^{2n}\right)^{2n-2}+\left( \left( a^n-5\right)^{2n-1}\right)^{2n-1}+\left( \left( a^n-5\right)^{2n-2}\right)^{2n}+\)
\(\left( \left( a^n-5\right)^n\right)^{4n-4}+\left( \left( a^n-5\right)^{n-1}\right)^{4n}=\left( a\left( a^n-5\right)^{4n-4}\right)^n\)
(第13题)
\(设n为大于等于2的正整数，则\)
\(\left( 4^{\left( n+1\right)\times\left( n+2\right)\times n}\right)^{n-1}+\left( 4^{\left( n+1\right)\times\left( n+2\right)\times\left( n-1\right)}\right)^n\)\(+\)\(\left( 4^{\left( n\times\left( n+1\right)\times\left( n-1\right)+\left( n\times\left( n-1\right)\right)\right)}\right)^{n+1}+\)
\(\left(
4^{\left( n\times\left( n+1\right)\times\left( n-1\right)\right)}\right)^{n+2}=\left( 4^{\left( n\times\left( n+1\right)-1\right)}\right)^{\left( n\times\left( n+1\right)-1\right)}\)
实例
(第14题)
(第15题)
\(求数例3，7，11，17，23，31，39，49…。正整数解的通项公式\)
设n为大于等于2的正整数，
\(a\left( n\right)=\frac{n\left( n+1\right)+\left( n-x\right)}{2}{,}其中n为偶数，则x为2{,}\ \ \ \ \ n为奇数，则x为1{,}\)
求数例7，13，23，33，47，61，79，97…。正整数解的通项公式
设n为大于等于2的正整数，
\(a(n)=n(n+1)+(n-x), 其中n为偶数，则x为1，其中n为奇数，则x为2，\)
(第16题)
\(设a^n+b^n=z{,}\ \ az=x{,}\ \ bz=y{,}\)\(其中abn均为任意正整数，\)\(则x^n+y^n=z^{n+1}，\)
\(\left\{ a\left( a^n+b^n\right)\right\}^n+\left\{ b\left( a^n+b^n\right)\right\}^n=\left( a^n+b^n\right)^{n+1}\)，\(其中a，b，n为正整数\)
(第17题)
\(设[y^{\left( n-1\right)}-y]/2=x，[y^{\left( n-1\right)}+y]/2=z，\)\( 其中y为大于等于2的正整数，n为大于等于4的正整数，\)
\(则x^2+y^n=z^2，\)
(第18题)
\(设xn均为任意正整数，\)
\(则\left( 2^n\right)^x十\left( 2^n\right)^x=2^{\left( nx十1\right)}\)
\(则\left( 2^x\right)^n十\left( 2^x\right)^n=2^{\left( nx十1\right)}\)
\(则\left( 2^n\right)^x十\left( 2^x\right)^n=2^{\left( nx十1\right)}\)
(第19题)
\(设n为大于等于2的正整数，\)\(则\left( 2^n\right)^{n一2}十\left( 2^{n一2}\right)^n=\left( 2^{n一1}\right)^{n一1}\)
(第20题)
\(设n为任意奇数，\)
\(则2^n+2^n=\left\{ 2^{\left( n+1\right)\div2}\right\}^{^2}{,}\)
\(2^1十2^1=2^2，\)
\(2^3十2^3=4^2，\)
\(2^5十2^5=8^2，\)
\(2^7十2^7=16^2，\)
\(......。\)
(第21题)
\(设n为大于等于0的整数{,}\)
\(则\left( 2^n\right)^{n+2}+\left( 2^n\right)^{n+2}=\left( 2\times\left( 2^n\right)\right)^{n+1}\)
\(1^2+1^2=2^1{,}\)
\(2^3+2^3=4^2{,}\)
\(4^4+4^4=8^3{,}\)
\(8^5+8^5=16^4{,}\)
\(16^6+16^6=32^5{,}\)
\(\cdots\cdots\)
(第22题)
\(\left( (b^2-a^2\right)^2+\left( 2ab\right)^2=c^4，\)其中\(a\)为勾，\(b\)为股，\(c\)为弦，且\(a\)﹤b﹤\(c\)。
(第23题)
\((ac)^2+\left( bc\right)^2=c^4，其中a为勾，b为股，c为弦。\)
(第24题)
\(设a，b，c为勾股数，则\)
\((c^2)^2=(ac)^2+(bc)^2=\left( b^2-a^2\right)^2+\left( 2ab\right)^2，\)
(第25题)
\(设x=b+2(a+c)，y=a+2(b+c)，z=c+2(a+b+c)，其中a为勾，b为股，c为弦，\)
\(则x^2+y^2=z^2,\)
(第26题)
\(设x为任意正整数，则x^2+(2x)^2+( 2x)^2=(x+2x)^2，\)
(第27题)
\(巳知2的n次方的n为大于等于1的正整数，\)
\(求满足方程(3x+1)/2^n=Z的所有x和Z的奇数解。\)
\(①，当n是奇数时，\)
\(x(奇数)=2^{\left( n+1\right)}×N+2^n+\left\{ [2^{\left( n+1\right)}-1]/3\right\}\)
\(z(奇数)=6N+5，\)
\(其中N为≥0的整数。\)
\(②，当n是偶数时，\)
\(x(奇数)=2^{\left( n+1\right)}\times N+[(2^n-1)/3]，\)
\(z(奇数)=6N+1，\)
\(其中n为正整数，N为≥0的整数。\)
(第28题)
\(3=\sqrt{1+\left( n_1+1\right)\sqrt{1+\left( n_2+1\right)...\sqrt{1+\left( n_n+1\right)\left( n_n+3\right)}}}\)
\(其中n_1=1，n_2=2，n_3=3，...n_n=n。\)
(第29题)
\(n\left( n+2\right)+1=\left( n+1\right)^2\)，其中n为正整数。
(第30题)
\(x=(2m+1)(2n+1)，其中x为奇合数，m，n为正整数。\)
(第31题)
\(设n为任意正整数，则\left( n+1\right)^2-n\left( n+2\right)=1，\)
(第32题)
\(设n，a为任意正整数，则\left( n^a+1\right)^2-n^a\left( n^a+2\right)=1{,}\)
(第33题)
\(求满足方程 x^3+3xy+n=y^3 的所有整数解\)
\(设y为≥3的正整数,x=y－2, n=3xy+8, 则x^3+3xy+n=y^3\)
(第34题)
\(a\left( n\right)=2^{2\left( \ n+1\right)-1}-1，其中n为大于等于1的正整数。\)
\(7, 31, 127, 511, 2047, 8191, 32767, 131071, 524287, 2097151, 8388607, 33554431, 134217727, ......\)
(第35题)
\(设L_n=\frac{\left( 1+\sqrt{2}\right)^n+\left( 1-\sqrt{2}\right)\ ^n}{2}=1{,}3{,}7{,}17{,}41{,}99{,}239.577{,}\cdots\cdots.\)
求证：\(L_n\times L_{n+1}\times L_{n+2}\times L_{n+3}+4=\ 完全平方数。\)
\(则1\times3\times7\times17+4=19^2\)
\(则3\times7\times17\times41+4=121^2\)
\(L_n\times L_{n+1}\times L_{n+2}\times L_{n+3}+4=\left\{ L_n\times L_{n+1}+\left( L_{n+2}-L_{n+1}\right)^2\right\}^2\)
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发表于 2023-8-22 21:51
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