若\(n\in N^{* }\),且n不是完全平方数,证明：\(\sqrt{n}\) 是无理数，过程中的问题?

wufaxian

下图是证明过程。全过程都懂。只是红线部分，不太明白“这样的延申不可能一直持续下去”。有的视频里管这一步叫“不断重复上述过程”。如何不断重复上述过程？可否举个例子，重复一次？

原来的p q \(p_1\ q_1\) 都是 \(\sqrt{n}\) 构造出来的。那么后续的 \(p_2\ q_2\)  是如何产生的？ 是\(\sqrt{n_{2 }}\) 构造出来的？

下面的证明过程没写，实际上q p 都是正整数。

wufaxian

【两个例子讲明白无穷递降法（无理数证明与韦达跳跃）】 【精准空降到 05:58】 https://www.bilibili.com/video/BV1WS4y1o7CC/?share_source=copy_web&vd_source=d0dfc60b858a7a9bfd33436d63b2a370&t=358

1、\(q_{1 }\) 是由公式3 产生的，而公式3是由公式2这个假设前提推导出来的。

2、由于m、p、q都是自然数，且0<p-mq，也就是0< \(q_{1 }\) 。 由公式4可以推导出来0< nq-mp, 也就是0<\(p_{1 }\)   由此可以确定\(q_{1 }\)  \(p_{1 }\) 都是自然数。  (\(q_{1 }\) <q   \(p_{1 }\)<p 的原因在此不赘述，看视频）  且\(\frac{p}{q}=\frac{p_{1}}{q_{1} }\) ,因此可以将\(q_{1 }\)  和 \(p_{1 }\) 这两个自然数重新代入到公式3 代替p 和q ，得到 \(m<\frac{p_1}{q_{1 } } <m+1\)   按照公式3到公式4的推导逻辑可以重来一边，再次得到一个新的公式4，得到\(\frac{P_1}{q_1}=\frac{p_{2} }{q_{2} }\)   且 0< \(q_{2 }\) <\(q_{1 }\)   0< \(p_{2 }\)<\(p_{1 }\)
   
      这样将形成永动机，不断找到更小的自然数\(q_{n }\)  和 \(p_{n }\)  最终与自然数良序性质发生冲突。产生矛盾

lihp2020

这个 是教材的一句 你先看看 你能理解不
这个教材也说 看起来显然的  我猜 教材也没法证明

cgl_74

自然数是有下限的；下限为1. 递降到1后就无法变小了。无论从大多一个自然数q开始递降，经过有限次递降，到1后就无法降了。就是这个道理。
另：这个证明也太繁琐了。我是靠意志力看完证明的。简单的用质因数分解比较的方法，就很简单证明了。

如果是看不懂如何重复的，把原来的p，q换成p1，q1，即n= p1^2/q1^2再循环做一次，得到1式到4式；再推出p2, q2.....

wufaxian

lihp2020 发表于 2023-8-23 09:06
这个 是教材的一句 你先看看 你能理解不
这个教材也说 看起来显然的  我猜 教材也没法证明

谢谢提供资料。良序性质我知道。但是我不知道\(p_{2 }\)  \(q_{2 }\) 怎么横空出世的。也就是截图中红线哪句话。如果这个问题解决了。后续的内容我觉得是顺理成章，没有疑问的。

wufaxian

cgl_74 发表于 2023-8-23 11:02
自然数是有下限的；下限为1. 递降到1后就无法变小了。无论从大多一个自然数q开始递降，经过有限次递降，到1 ...

谢谢回复。
良序性质我知道。但是我不知道\(p_{2 }\)  \(q_{2 }\) 怎么横空出世的。也就是一楼截图中红线那句话。如果这个问题解决了。后续的内容我觉得是顺理成章，没有疑问的。

cgl_74

wufaxian 发表于 2023-8-23 16:03
谢谢回复。
良序性质我知道。但是我不知道\(p_{2 }\)  \(q_{2 }\) 怎么横空出世的。也就是一楼截图中红 ...

谢倒是不用。
1、你先看看我给你的答复，有哪个字或者哪句话不理解的？
2、如果都看懂了，还不理解方法的话，也没关系，就不要局限于想了。在纸上照着意思做一遍或多遍。不要偷懒，要写出来！
3、做了几遍还不理解的话，你再发帖表达下感想。