妥园魅力SHOW之廿五，混杂美利坚奥数集训队题目，137次方程【资料】

dodonaomikiki

我的疑问在于，能否由常规的解题办法？

dodonaomikiki

继续解答
好像非常精彩！

dodonaomikiki

继续解答！
一场精彩 值得细细品味

dodonaomikiki

丘成桐大师认为奥数乃是一个引子！
这种结论是有意义的

Future_maths

奥数乃是一个引子！说得多好！

dodonaomikiki

是的！我非常赞同丘大师的观点！！！
玩玩奥林匹克，但又不局限于此，借以
打通数学命脉，
进入数学真正的数学花园，那才是更好玩的！



但是不可否认，
这道题目，估计也应该是很好玩的！
只可惜俺数学知识狭隘逼仄，
看得云里雾里，
头脑一片空白。

dodonaomikiki

yuan原文太过于烦琐，语言组织不够干净、干脆

语言净化一哈！


\begin{align*}

  \begin{cases}    x+y+z=0                 \\  x^3+y^3+z^3=18            \\  x^7+y^7+z^7=2058         \end{cases}\\
【Sol.】\\
The   \qquad     polynomial:            P(t)&=t^3+at^2+bt+c\\
  x+y+z&=0   \\
\Longrightarrow   a=0\\
Viet    \qquad    Theo.  \Longrightarrow    P(t)&=t^3+bt+c  \\
Cauz   \qquad      x,y,z乃是三根\\
\begin{cases}     x^3+bx+c   & =0    \\ y^3+by  +c&=0         \\ z^3+bz  +c&=0    \end{cases}\\
Combine  \qquad     x^3+y^3+z^3&=0,   x+y+z=0\\
\Longrightarrow    3c+18&=0\\
\Longrightarrow   C&=-6\\
\Longrightarrow   P(t)&=t^3+bt-6\\

\end{align*}

dodonaomikiki

二部




\begin{align*}


&\begin{bmatrix}
x^3   \\
  y^3  \\  
z^3  \\
\end{bmatrix}
* \begin{bmatrix}
x^n   \\
  y^n  \\  
z^n  \\
\end{bmatrix} +

\begin{bmatrix}
bx   \\
  by \\  
bz  \\
\end{bmatrix}  \times   \begin{bmatrix}
x^n   \\
  y^n  \\  
z^n  \\
\end{bmatrix}
-6\begin{bmatrix}
x^n   \\
  y^n  \\  
z^n  \\
\end{bmatrix}\\
&=x^{n+3}   +y^{n+3}  +z^{n+3}+  b(  x^{n+1}   +y^{n+1}  +z^{n+1} )-6(  x^n   + y^n  +z^n   )\\
&=0 ......(*)\\
Denoting\\
S_n&= x^n   + y^n  +z^n     \qquad      for   \qquad     n     \succeq   1  \\
.(*)  \Longrightarrow    S_{n+3}   +bS_{n+1}  -6 S_{n} &=0......(**)\\
Cause    \qquad  S_7&=2058\\




\end{align*}

dodonaomikiki

kanlai看来，太正统，太规范的英语，
也不适合中国人，
特不适合中国人的思维习惯！

dodonaomikiki

三部




\begin{align*}


Using  ......(**)     \Longrightarrow   S_7=-b  S_5+b S_4\\
&=-b(-bS_3+6S_2)+6(-b  S_2+6 S_1)\\
&=b^2  S_3-12bS_2+ 36S_1\\
\Longrightarrow    &  \begin{cases}             S_3=18\\    S_2=(x+y+z)^2-2(xy+xz+yz)   =-26
      \\        S_1=0           \end{cases}   \\  \\    \\
And    \qquad      S_7=42b^2  \Longrightarrow b=\pm   7\\


\blacksquare    b&=7 の 情况下\\
t^3+7t-6&=0只有一个实根\\
且观察 f(t)&=t^3+7t-6严格递增\\


\blacksquare    b&=-7 の 情况下\\
具有三个实根\\
  \begin{cases}             t_1=-1\\    t_2=-2  
      \\        t_3=3           \end{cases}   \\   

\Longrightarrow    方程的根（-1，  -2，  3）\\
and    \qquad     all     \qquad     of    \qquad       its    \qquad       permutations\\




\end{align*}