△OAB是边长为6的正三角形,D是JO上的动点,CE是切线,如果∠EAC=∠EBO,求1/OD-1/OE的值

天山草

天山草

以下是纯几何方法。

因为已知 \(∠EAC =∠EBO\)，而 \(∠EAC = ∠CBO\)，所以 \(∠CBO = ∠OBE = θ\)，在 \(△DOB\) 中使用正弦定理得
\(sinθ/OD = sin(2 \pi/3 - θ)/OB\)，在 \(△OBE\) 中使用正弦定理得 \(sinθ/OE = sin(\pi/3 - θ)/OB\)，二式相减得
\(sinθ (1/OD - 1/OE) = (sin(2 \pi/3 - θ) - sin(\pi/3 - θ))/OB = sinθ/OB\)，
所以 \(1/OD - 1/OE = 1/OB\)。因为 \(OB = 6\)，故 \(1/OD - 1/OE = 1/6\)。