杨辉倒三角第一行是 1,2,3,…，下一行是肩上两数字之和，通项公式为 (2n+m-1)2^(m-2)

ccmmjj126

这是我见过的比较好的高中数学题，题目来源于网上抓图。用数值构型来看应该是这一两年的题目，具体出现在哪一张卷，出题人是谁，是否原创不得而知。网友们有没有兴趣思考一下。

Treenewbee

设该倒三角共n行，最终的和为an，易知：

\[a_n = 2a_{n-1}+ 2^{n-2}，a_1=1,a_2=3,a_3=8\]

可以推出： \[a_n = (n+2)*2^{n-1}\]

\[a_{2023} = (2023+2)*2^{2023-1}=2025*2^{2022}\]

Treenewbee

\[a_n = (n+1)*2^{n-2}\]
\[a_{2023}=2024*2^{2021}=253*2^{2024}\]

cgl_74

3楼的结论，是可以严谨证明的。

luyuanhong

ccmmjj

luyuanhong 发表于 2023-9-4 01:12

陆老师威武。

fungarwai

\(\displaystyle \sum_{k=0}^{m-1} \binom{m-1}{k}(n+k)\)
\(\displaystyle =n2^{m-1}+(m-1)2^{m-2}\)
\(\displaystyle =(2n+m-1)2^{m-2}\)

fungarwai

設第一行第n個數字為\(a_n\)
因為第一行以下數字由肩上兩個數字相加
所以第m行第n個數字只與\(a_n,~a_{n+1},~\dots,~a_{n+m-1}\)有關

\(a_n,~a_{n+1},~\dots,~a_{n+m-1}\)可以各自對應一個楊輝三角形

加起來就是\(\displaystyle \sum_{k=0}^{m-1} \binom{m-1}{k}a_{n+k}\)

cgl_74

我也来分享一个解法。这个解法是从求解角度出发，而不是求证。同时也可以解释5楼陆老师的公式是如何推倒出来的。