设 n∈N ，f(n)=(4／5)^n(n^2+4n) ，求使得 f(n) 取到最大值的 n

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首先，我们将函数 f(n) 取对数，得到 l(n) = log(f(n)) = log((4/5)^n * (n^2 + 4n))。
利用对数的性质，可以将这个表达式展开为两个部分的和：
l(n) = log((4/5)^n) + log(n^2 + 4n)。

接下来，我们分别考虑这两个部分的最大值。

对于第一个部分，log((4/5)^n)，可以通过对数性质将指数移到前面，得到 l1(n) = n * log(4/5)。
由于 log(4/5) 是负数，所以 l1(n) 随着 n 的增加而递减。因此，我们可以得出结论，在 l1(n) 中，当 n 取最小值时取得最大值。

对于第二个部分，log(n^2 + 4n)，我们可以将其写为 log(n(n + 4))。
要找到这个函数的最大值，我们可以考虑它的导数。求导后，我们得到 l2'(n) = (2n + 4) / (n(n + 4))。
如果我们令 l2'(n) = 0，我们可以求得极值点的值为 n = -2。
通过二阶导数测试，我们可以验证这个点确实是极大值点。

综上所述，当 n = -2 时，函数 f(n) = (4/5)^n * (n^2 + 4n) 取得最大值。

Treenewbee

设$n=k$时，$f(n)$最大，则有：
\[(4/5)^{k - 1}*((k - 1)^2 + 4 (k - 1)) < (4/5)^k*(k^2 + 4 k)\]
\[k^2-6k-15  < 0\]
\[-1<=k<=7\]

\[(4/5)^{k + 1}*((k + 1)^2 + 4 (k + 1)) < (4/5)^k*(k^2 + 4 k)\]
\[k^2 - 4 k - 20>0\]
\[k>=7 \ or \ k<=-3\]
故\[k=7\]

luyuanhong