数列 {a(n)} 满足 a(n+1)=a(n)+a(n)^2／n^2，a(1)=2／5，证明：a(n)＜1（n=1,2,…）

天山草

如果序列：
\(a_{n+1}=a_{n}+\frac{a_{n}^2}{n^2}\)，\(a_1=\frac{2}{5}\)
证明对于所有正整数 \(n\) 都有：
\(a_{n}<1\)

天山草

此题来源于阿里巴巴数学竞赛试题。

cgl_74

这个题目我正好做过，一种解法供分享。
思路很简单的，但要用到欧拉级数，算是站在巨人的肩膀上。但这个级数也算耳熟能详，不算冷门：

tmduser

当n<=5时，可以手工计算验证到an<0.75<1.
当n>5时根据通项公式有：
\(a_6-a_5=\frac{a_3^2}{5^2}\)
\(a_7-a_6=\frac{a_2^2}{6^2}\)
...
\(a_{n+1}-a_n=\frac{a_n^2}{n^2}\)
各式左右两侧分别累加得：
\(a_{n+1}-a_5=\sum_{i=5}^n\frac{a_i^2}{i^2}\)
接下来可用数学归纳法证明，若当\(i\le n\)时有\(a_i<1\)成立，则有\(a_{n+1}<1\)成立。
\(a_{n+1}=a_5+\sum_{i=5}^n\frac{a_i^2}{i^2}<a_5+\sum_{i=5}^n\frac{1}{i^2}<a_5+\sum_{i=5}^n\frac{1}{\left( i-1\right)i}<a_5+\frac{1}{4}<1\)

luyuanhong

楼上 cgl_74 和 tmduser 的解答已收藏。

天山草

下面这个是不用数学归纳法的证明。是【休闲娱乐数学】网站的站长 kuing 证明的。

luyuanhong

楼上 天山草 转发的解答很好！已收藏。