资料【残数定理之二】为啥\(\Gamma2\)在积分之后等于零？

dodonaomikiki

\begin{align*}
针对以下具体积分\\
\int_{\Gamma}\frac{e^{iz}}{z^2+1}\\
对这个函数进行积分的时候，\\
要构建出\Gamma2\\
但不晓得\Gamma2为啥最后积分&=0？\\
【也就是对整个积分而言，没有贡献】\\
真诚请教\\
\end{align*}

dodonaomikiki

做功部分=0？
流数部分>0？
还是觉得莫名其妙！

dodonaomikiki

视频中，视频制作者她也提出了这个问题！

dodonaomikiki

\begin{align*}
\int_{\Gamma}    \frac{   e^{iz}  }{   z^2+1   }\\
首先，对这个函数完成积分\\
之后，用若尔当引理来解释一哈\Gamma2为啥等于0\\



【题目资料：来自《超越普李瓦洛夫》留数卷】\\
F&=\int_{0}    ^{+\infty  }       \frac{ cosxdx   }{z^2+1}\\
【Sol.】\\
作辅助函数  F(z)&=  \frac{   e  ^{iz}   }   {z^2+1}  \\
Cauz     \qquad                   g(z)&= \frac{1  } {z^2+1}   在\Gamma _R图上满足：\\
\Bigg|      g(z)   \Bigg|   \prec   \frac{  1}{   R^2  -1}(       R\succ   1)  \\
&\Longrightarrow     g(z)   \to    0\\



【若尔当引理】可以笑得\\
When      \qquad                 R  & \to   \infty  \\
(Res      \qquad            Theo.)\Longrightarrow   \int _{-R}^R   \frac{e^{iz}   }{  z^2+1}dx+\int_{\Gamma_R}\\
&=2\pi i(Res,  i)\\
When    \qquad   R   \to    +\infty \\
&=\int _{-\infty}^ {+\infty}     \frac{e^{iz}  dz   }{  z^2+1}   dx\\
&=\frac   {  \pi   }   {    1   \bullet      e^1}  \\
&=\frac{\pi   }{       e}\\





Cauz    \qquad           \frac{   cosx}   {x^2+1}  奶味偶函数\\
\Longrightarrow        F&=\int_{0}  ^{+\infty  }     \frac{ cosx  dx   }{x^2+1}  \\
&=\frac{\pi   }{       2e}\\


\end{align*}

dodonaomikiki

用若尔当引理来解释一哈\(\Gamma2为啥等于0\)？

dodonaomikiki

\begin{align*}



若尔当引理:\\
【  from    \qquad   严ZHEN-Jun老师】\\
R充分大时，\\
g(z)在圆弧\Gamma_R:   \Bigg|  z   \Bigg|  =R\\
Imz  \succ   -a(a  \succ  0)连续\\
And  \qquad    \lim\limits_{Z   \to   +\infty}g(z)=0\\
\Longrightarrow      对于任何正数\lambda,  \lim\limits_{Z   \to   +\infty}  g(z)  \int_{\Gamma_R}  g(z)e^{i\lambda z}dz=0\\

\end{align*}