【视频可见姜殷老师】资料【残数定理之五】对上半园的围道积分的值=0

dodonaomikiki

\begin{align*}
针对以下具体积分，来计算一哈\\
【水平有限，可能计算错误】\\

\int_{\Gamma}\frac{e^{iz}}{z^2+1}\\
因为该函数在y    \succ 0的时候具有畸点z=i\\

&=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{iz}}{z^2+1}\\
&=2\pi i  \bullet  Res(\frac{e^{iz}}{z^2+1},  i )\\
&=\frac{\pi}{e}\\








之前，也看过一些复变函数题目，\\
算过一些残数题目，\\
却未曾想过这个问题\\
故而真诚请教\\
\end{align*}

dodonaomikiki

\begin{align*}
那么针对半圆的围道积分，\\
我不假思索，\\
觉得计算结果应该是：\\
\frac{\pi}{2e}\\
也就是说，\\
    \int_0^{+\infty}\frac{e^{iz}}{z^2+1}\\
&=   \frac{\pi}{2e}\\
\end{align*}

dodonaomikiki

那么实际上，
这个计算的本质还是【一个】围道积分的结果？是吗？
只不过，
简便起见，
“分割”成了两个半圆，
分别来包络两个畸点来计算而已？
我这样理解，可否？

dodonaomikiki

现在我的理解：
是不是这样？上半圆弧，下半圆弧，互相抵消？
一个源流，
一个沉降池，
也就是溜出去之后，被吸纳沉降，没了！
也就是理解成一个原点，
不晓得是否这样？

dodonaomikiki

找到一个具体例子，言说之！
应该是偶函数的缘故

dodonaomikiki

1962年，  伦斯勒理工学院Murry 博士  一部




\begin{align*}

Evaluate:    \oint_{\Gamma}  \frac{ 2\pi  d\theta         }{  5+3sin\theta}\\
Let    \qquad    z&=e^{i\theta   }\\
\Longrightarrow   sin\theta&=\frac{   e^{i\theta   }- e^{- i\theta   }  }{2}\\


&=\frac{   z- z^{-1   }    }{2i   }\\
\Longrightarrow      dz&=ie^{i\theta   }d\theta  =izd\theta\\

\Longrightarrow 原式&=\oint  _{\Gamma}   \frac{  dz/iz  }{   5+    3(\frac{  z- z^{-1   }      }{2i})}\\
&=\oint  _{\Gamma}    \frac{   dz}{  5iz+\frac{3}{2}(z^2-1)}=\oint  _{\Gamma}    \frac{   2dz}{  10iz+3z^2-3}\\
&=\oint _{\Gamma}    \frac{   2dz}{  3z^2+10iz-3}\\
\Gamma这玩意儿味儿，是一个单位圆，圆心落在原点\\





\end{align*}

dodonaomikiki

伦斯勒理工学院Murry 博士  二部
\begin{align*}

针对\frac{   2}{  3z^2+10iz-3} 而言    \\
她的poles乃是简单的simple    \qquad  poles\\
也叫作unessential   \qquad      poles\\
z&= \frac{ -10i  \pm  \sqrt{-100-4  \bullet  3(-3)}     }{    2\bullet    3}\\
&=\frac{   -10i  \pm   \sqrt{-64}}{    6}\\
&=\frac{    -10i\pm   8i}{    6}\\
&=-3i,  ( \frac{    -2i   }{    6}=\frac{   -i}{3})\\





\end{align*}

dodonaomikiki

伦斯勒理工学院Murry 博士  三部



\begin{align*}
显然，只有z=\frac{   -i}{3}在\Gamma域内\\
Res（\frac{   -i}{3}）=\lim_{Z\to     \frac{   -i}{3}    }(  z+\frac{   i}{3})(\frac{2       }{    3z^2+10iz-3       })\\

=\lim_{Z   \to     \frac{   -i}{3}    }     \frac{  3z+ i}{3}     \bullet     \frac{2       }{    3z^2+10iz-3       }\\

=\lim_{Z\to  \frac{   -i}{3}    }    \frac{  3z+ i}{3}     \bullet    \frac{2  }{   (3z+i)(z+3i)     }    \\

=\frac{2}{3}   \bullet     \frac{  1}{   -i/3  +3i}\\
=\frac{2}{3}   \bullet     \frac{  3}{   -i  +9i}\\
=\frac{   2}{  8i}\\
=\frac{1  }{   4i}\\
【这里其实， L‘HOSPITAL     \qquad    Rule也是可以用的’】\\
\Longrightarrow   Result=原式=2\pi  i   \bullet   Res( \frac{   -i}{3}    )\\

=2\pi  i      \bullet    \frac{   1}{4i}\\
=\frac{\pi}{2}, the    \qquad    required    \qquad   value\\



\end{align*}

dodonaomikiki

两个半圆，上下构成了
护卫偶函数的关系！

dodonaomikiki

https://www.bilibili.com/video/BV1ey4y1K7Yg?p=22

这个，应该就是若尔当引理姜殷老师进行了
详细的解析！