【评估以及质疑】【残数定理之七】Augustin-Jean Fresnel ~~~菲涅尔积分

dodonaomikiki

两百年前，
就搞出了这个东东！实在不可思议~~~如今，还看不懂



\begin{align*}
F1&=\int_{0}    ^{+\infty  }    cosx^2dx  dx\\

F2&=\int_{0}    ^{+\infty  }   sinx^2dx  dx\\
Cauz    \qquad    f(z)= e^{iz^2} 在这个闭合三角形内の 闭合周线：\\
\Gamma=[0,  R]  +\Gamma1+\Gamma2\\






\Longrightarrow   f(z)  在闭合周线内解析\\
Hence\\
&=\int_{\Gamma}f(z)dz\\
&=\int_{0}^{R}e  ^{ix^2} dx+    \int_{\Gamma1}f(z)dz+\int_{\Gamma2}f(z)dz ......(*)\\
\Gamma1在这个周线上，\\
z&=R+iy  (   0  \preceq     y  \preceq           R)\\
\Longrightarrow         \Bigg|     \int_{\Gamma1}f(z)dz      \Bigg|     \preceq       \int_{0}^R   \Bigg|    e^{i(R+iy)^2  }     \Bigg|  dy\\
&=   \int_{0}^R   e^{-2Ry  } dy\\
&= \frac  { 1- e^{-2R^2  }  }{2R   }\\
&\to 0  (   R  \to  +\infty)\\













\end{align*}

dodonaomikiki

接下来，继续 确实很优美


\begin{align*}

\Gamma2这个周线上\\
z&=r  \bullet   e^{   \frac{\pi}{4} i   }\\
z^2&=i  \bullet  r^2  (  0   \preceq      r    \preceq         \sqrt{2}R)\\
\Longrightarrow    dz&=e^{   \frac{\pi}{4} i   }dr\\
\Longrightarrow   \int_{\Gamma2}f(z)dz&=e^{   \frac{\pi}{4} i   }\int_{    \sqrt{2}R }^0    \bullet   e^{-r^2}dr\\
Set:  星星式两边R\to  +\infty取极限\\









\Longrightarrow        F1+i \bullet F2    -\frac{   1+i}{    \sqrt{2} }\int_{  0}^{   +\infty}e^{-r^2}dr\\
&=0\\
Cauz    \qquad           \int_{  0}^{   +\infty}e^{-r^2}dr&=\frac{    \sqrt{2}  }{2}\\
\Longrightarrow      F1+iF2&=\frac{   1+i}{  2   \sqrt{2}  }\sqrt{\pi}\\
\Longrightarrow    F1&=F2=0,5\sqrt{    \frac{\pi}{2}}\\












\end{align*}