a,b,c 是复数，对任何｜z｜≤1 恒有｜az^2+bz+c｜≤1 ，求｜a｜+｜b｜+｜c｜的最大值

pizza49

如题所示,各位大佬看看

ROLAND

我们可以使用三角不等式来解决这个问题。

首先，我们将复数z表示为z = x + yi，其中x和y分别是z的实部和虚部。

考虑复数az^2 + bz + c，我们可以将其展开为：

az^2 + bz + c = a(x^2 - y^2) + (2axy + b)x + (ay^2 + by + c)

我们需要证明对于任何|z| ≤ 1，都有|az^2 + bz + c| ≤ 1。

我们可以使用三角不等式来处理这个问题。对于任何复数w和z，有|w + z| ≤ |w| + |z|。

我们将az^2 + bz + c表示为三个部分的和：

az^2 + bz + c = a(x^2 - y^2) + (2axy + b)x + (ay^2 + by + c)

我们可以将每个部分的绝对值进行估计：

|a(x^2 - y^2)| ≤ |a| * |x^2 - y^2| ≤ |a| * (|x|^2 + |y|^2) = |a|

|(2axy + b)x| ≤ |2axy + b| * |x| ≤ (2|a||x||y| + |b|) * |x| ≤ (2|a| + |b|) * |x|

|(ay^2 + by + c)| ≤ |a| * |y|^2 + |b| * |y| + |c| ≤ (|a| + |b| + |c|)

现在，我们将这三个部分的绝对值相加：

|az^2 + bz + c| ≤ |a| + (2|a| + |b|) * |x| + (|a| + |b| + |c|)

我们需要证明对于任何|z| ≤ 1，都有|az^2 + bz + c| ≤ 1。

由于|x| ≤ 1，我们可以得到：

|az^2 + bz + c| ≤ |a| + (2|a| + |b|) * 1 + (|a| + |b| + |c|) = 4|a| + 2|b| + |c|

因此，我们得到了一个关于|a| + |b| + |c|的上界，即4|a| + 2|b| + |c| ≤ 1。

所以，|a| + |b| + |c| 的最大值为1/4。

当且仅当a = 1/4，b = 1/2，c = 1时，等号成立。

因此，|a| + |b| + |c| 的最大值为1/4。

cgl_74

这个题目，我没有找到简便的解法。用常规的导数解法，能做一定的简化，但终究计算量比较大，用计算机辅助计算可行，手工计算就没啥意思。
1、如a, b, c 3个复数中至少有一个为0，则可以简单证明，|a| + |b| + |c|<=1. 并且可以取值1.
2、如a,b c3个复数，全不为0，则转为一个带多参数的，至少一个变量的函数最大值问题。理论上是存在大于1的值的。计算量比较大，多元函数的最值问题。

Future_maths

二楼的解答肯定是错误的。