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从正三角形底边中点发射一道光线,经过 n 次反射后,到达三角形一个顶点,求发射角度

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发表于 2023-10-26 10:26 | 显示全部楼层 |阅读模式
推介一道网上看到的趣题

正三角形的台球桌
其实看作理想化的情况比较好。球当作一个光子,三条边当作能够全反射的镜面,球洞就是一个顶点。反射可以无限进行下去,直到到达一个顶点为止。
如图就是一个反射过程,起点是底边的中点,求角α 。

这个问题可否一般化?

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 楼主| 发表于 2023-10-26 10:31 | 显示全部楼层
@ 天山草 兄擅电脑模拟否?可模拟出各种解答,寻得规律,公式?
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发表于 2023-10-27 05:48 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2023-11-3 11:41 编辑

正三角形ABC(A=上,B=左,C=右,BC=a,AC=b,AB=c)边长=1,O=AC上的点。
反射0()次到达A,  CO=1/1,
反射1(b)次到达B,  CO=1/3,
反射2(b,c)次到达C,  CO=2/3,
反射3(b,c,a)次到达A,  CO=2/5,
反射4(b,c,a,b)次到达B,  CO=3/5,
反射5(b,c,a,b,c)次到达C,  CO=3/7,
反射6(b,c,a,b,c,a)次到达A,  CO=4/7,
反射7(b,c,a,b,c,a,b)次到达B,  CO=4/9,
反射8(b,c,a,b,c,a,b,c)次到达C,  CO=5/9,
{1/1, 1/3, 2/3, 2/5, 3/5, 3/7, 4/7, 4/9, 5/9, 5/11, 6/11, 6/13, 7/13, 7/15, 8/15,
8/17, 9/17, 9/19, 10/19, 10/21, 11/21, 11/23, 12/23, 12/25, 13/25, 13/27, 14/27, ......
  1. Table[Floor[(n + 1)/2]/(2 Floor[n/2] + 1), {n, 1, 99}]
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发表于 2023-10-27 19:39 | 显示全部楼层


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我发现凡是需要构造的题目,计算机数学就无能为力。  发表于 2023-10-30 10:25
这个证明相当精彩!!!!!  发表于 2023-10-28 13:36
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发表于 2023-10-29 10:36 | 显示全部楼层
本帖最后由 ataorj 于 2023-10-29 10:37 编辑

上面答案适合于快速做出完整路线。
问下:任意角度值都符合不?
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发表于 2023-10-29 16:04 | 显示全部楼层
本帖最后由 ataorj 于 2023-10-29 22:24 编辑

更正,参照陆教授下一帖子,v=n√3/m,上面问题是要证明,非负实数可否都能表达为v的形式
并非。反例,比如,v≠1,2,3,5^0.5,...,它们对应着相应的角度
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发表于 2023-10-29 17:56 | 显示全部楼层
  是不是从 (0,0) 射出的任何角度的光线,经过多次反射,最后都能到达正三角形的顶点?

  不是。从上面第 5 楼的解法可以看出,要使得光线反射后到达正三角形顶点,射出的光线必须

指向正三角形网格的某一个网格顶点。正三角形网格顶点的一般坐标可以表示为 (m,n√3) ,其中

m,n 是两个奇偶不同的整数,所以发射角度必须为 α=arctan(n√3/m) ,m,n 是奇偶不同的整数。

除了这种形式的发射角,从 (0,0) 射出的其他角度的光线,只能在正三角形内部无限多次反射,

永远不可能到达正三角形的顶点。
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发表于 2023-10-30 07:17 | 显示全部楼层

如图,反射路线为D-E-F-G-A
过E做AB垂线x,易知
对于初级三角形ABC:入射线DE,透射线EH和反射线EF之间关系:共边AB为对称轴,EH=EF
同理,二级:入射线EH,透射线HI和反射线HL之间关系:AK为对称轴,HI=HL
HL以AB为对称轴对应回应初级三角形ABC中的FG
同理,三级的透射线IJ可三次对称回应到GA(有IJ=IA=LA=GA)
可见透射线DJ和目标反射路线是一一对应关系,
目标角度d=arctan(n√(3)/m),实例中n=MJ/√(3)=1+1,m=DM=-1-2
d会否其实是任意值呢?研究n/m即可,其显然为任何有理数,则无理数是不行的,相应d也就非任意.证毕

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这种构造性的几何证明是用计算机死死计算做不到的。  发表于 2023-10-30 10:22
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 楼主| 发表于 2023-10-30 10:10 | 显示全部楼层
很精彩的解答,谢谢了。这是网络原解答,已经包含在陆教授的解答中了。

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\times\cdot\ast\div\pm\mp\circ\backslash\oplus\ominus\otimes\odot\bullet\varnothing\neq\equiv\not\equiv\sim\approx\simeq\cong\geq\leq\ll\gg\succ\prec\in\ni\cup\cap\subset\supset\not\subset\not\supset\notin\not\ni\subseteq\supseteq\nsubseteq\nsupseteq\sqsubset\sqsupset\sqsubseteq\sqsupseteq\sqcap\sqcup\wedge\vee\neg\forall\exists\nexists\uplus\bigsqcup\bigodot\bigotimes\bigoplus\biguplus\bigcap\bigcup\bigvee\bigwedge
\because\therefore\angle\parallel\perp\top\nparallel\measuredangle\sphericalangle\diamond\diamondsuit\doteq\propto\infty\bowtie\square\smile\frown\bigtriangledown\triangle\triangleleft\triangleright\bigcirc \wr\amalg\models\preceq\mid\nmid\vdash\dashv\nless\ngtr\ldots\cdots\vdots\ddots\surd\ell\flat\sharp\natural\wp\clubsuit\heartsuit\spadesuit\oint\lfloor\rfloor\lceil\rceil\lbrace\rbrace\lbrack\rbrack\vert\hbar\aleph\dagger\ddagger

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