【资料】妥园魅力SHOW之五十八，椭圆蝴蝶定理之证明

dodonaomikiki

不晓得可否用仿射法，
加以解决之？

Future_maths

用仿射变换将椭圆变成圆。

luyuanhong

题  椭圆蝴蝶定理：

    在椭圆内，过弦 AB 中点 M 作弦 CD,EF，CE,DF 分别交 AB 于 P,Q，证明：MP=MQ 。

证  在《数学中国》另一个帖子中，我证明了圆内的“蝴蝶定理”：

    在圆内，过弦 AB 中点 M 作弦 CD,EF，CE,DF 分别交 AB 于 P,Q，则必有 MP=MQ 。

    在本题中，作一个仿射变换，可以将椭圆变成圆，将椭圆的弦变成圆的弦。

     由于仿射变换不会改变同一直线上线段长度之间的比例关系，所以在圆中当 M 为 AB

中点时可证得必有 MP=MQ ，在椭圆中当 M 为 AB 中点时也可证得必有 MP=MQ 。

luyuanhong

dodonaomikiki

这一部分，
用替代法可以看得更加清楚：
\begin{align*}
\frac{A}{  B}      &=\frac{K-A}{   K-B}        \\
\Longrightarrow      KA-BA&=KB-AB\\
   \Longrightarrow      KA&=KB\\
  \Longrightarrow        A&=B \\

\end{align*}