互素数互素数对

yangchuanju · 发表于 2023-11-1 05:45

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-11-1 10:25 编辑

互素数互素数对
如果两个整数没有大于1的公约数，则它们就是一对互素数。
下面仅讨论正偶数拆分成互素的两正整数和的问题，即互素数对问题。
2是唯一的一个偶素数，与2互素的整数为全体奇数，
任一个偶数都可以表示成一对或多对与2互素的互素数（奇数）之和，2=1+1，4=1+3=3+1，6=1+5=3+3=5+1，……，互素数对数等于N/2；
不用整数1的话，任何一个大于等于6的偶数都可以表示成一对或多对与2互素的互素数（奇数）之和，互素数对数等于N/2-2。

yangchuanju · 发表于 2023-11-1 05:48

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-11-1 10:26 编辑

与6互素的正整数包括6k+1和6k+5两类（k——自然数0,1,2,3……，下同），按除以6的余数对偶数进行分类有三类（余0,2,4），正偶数都能表示成与6互素数之和，
6n（n——自然数0,1,2,3……，下同）类偶数等于(6k1+1)+(6k2+5);
6n+2类偶数等于(6k1+1)+(6k2+1);
6n+4类偶数等于(6k1+5)+(6k2+5);
6=1+5=5+1，12=1+11=5+7=7+5，18=1+17=5+13=7+11=11+7=13+5=17+1，……双计互素数对数分别为2,4,6，……2n，不计1为2n-2;
2=1+1，8=1+7=7+1，14=1+13=7+7=13+1，20=1+19=7+13=13+7=19+1，……双计互素数对数分别1,2,3,4，……n+1，不计1为n-1；
4=?，10=5+5，16=5+11=11+5，22=5+17=11+11=17+5，……双计互素数对数分别为0,1,2,3，……n，不含1，不计1仍为n。

yangchuanju · 发表于 2023-11-1 05:53

两个与6互素的互素数之和模6余数表：
加 1 5
1 2 0
5 0 4

余数表法数
0 2
2 1
4 1

表法数种数乘
1 2 2
2 1 2
合计 3 4
—— =6/2 =2*2

yangchuanju · 发表于 2023-11-1 05:57

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-10-31 22:15 编辑

与30互素的整数包括30k+1、+7、+11、+13、+17、+19、+23和30k+29八类，15类（4大类）偶数都能表示成与30互素数之和，分别有3,4,6,8种表示法，
两个与30互素的互素数之和模30余数表：
加 1 7 11 13 17 19 23 29
1 2 8 12 14 18 20 24 0
7 8 14 18 20 24 26 0 6
11 12 18 22 24 28 0 4 10
13 14 20 24 26 0 2 6 12
17 18 24 28 0 4 6 10 16
19 20 26 0 2 6 8 12 18
23 24 0 4 6 10 12 16 22
29 0 6 10 12 16 18 22 28

余数表法数余数表法数
0 8 16 3
2 3 18 6
4 3 20 4
6 6 22 3
8 3 24 6
10 4 26 3
12 6 28 3
14 3

表法数种数乘
3 8 24
4 2 8
6 4 24
8 1 8
合计 15 64
—— =30/2 =8*8

yangchuanju · 发表于 2023-11-1 06:07

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-11-1 10:29 编辑

30n类偶数等于(30k1+1)+(30k2+29)，7+23,11+19,13+17,17+13,19+11,23+7,29+1——表法数等于8；

30n+2类偶数等于(30k1+1)+(30k2+1)，13+19，19+13——表法数等于3；
30n+4，+8，+14，+16，+22，+26，+28类偶数与30n+2类偶数类同，表法数都是3；

30n+6类偶数等于(30k1+7)+(30k2+29),13+23,17+19,19+17,23+13,29+7——表法数等于6；
30n+12，+18，+24类偶数与30n+6类偶数类同，表法数都是6；

30n+10类偶数等于(30k1+11)+(30k2+29),17+23,23+17,29+11——表法数等于4；
30n+20类偶数与30n+10类偶数类同，表法数都是4。

30=1+29=7+23=11+19=13+17=17+13=19+11=23+7=29+1（互素数对数8）；
60=1+59=7+53=11+49=13+47=17+43=19+41=23+37=29+31=……（互素数对数16）；
90=1+89=7+83=11+79=13+77=17+73=19+71=23+67=29+61=31+59=37+53=41+49=43+47=……（互素数对数24）；……
30n类偶数用与30互素的互素数和的互素数对数等于8n（n——自然数0,1,2,3……，下同）

2=1+1，32=1+31=13+19=19+13=31+1，62=1+61=13+49=19+43=31+31=……，92=1+91=13+79=19+73=31+61=43+49=……（互素数对数3n+1）；
4=？，34=11+23=17+17=23+11，64=11+53=17+47=23+41=41+23=47+17=53+11，……（互素数对数3n）；
8=1+7=7+1，38=1+37=7+31=19+19=31=7=37+1，68=1+67=7+61=19+49=31+37=37+31=49+19=61+7=67+1，……（互素数对数3n+2）；
14=1+13=7+7=13+1，44=1+43=7+37=13+31=31+13=37+7=43+1，74=1+73=7+67=13+61=31+43=37+37=43+31=61+13=67+7=73+1，……（互素数对数3n+3）；
16
22
26
28
30n+2，+4，+8，+14，+16，+22，+26，+28类偶数用与30互素的互素数和的互素数对数等于3n+1,3n,3n+2,3n+3,3n,3n+1,3n+3,3n+2，平均3n+1.5，两两和6n+3。

6
12
18
24
30n+6，+12，+18，+24类偶数用与30互素的互素数和的互素数对数等于6n,6n+2,6n+4,6n+6，平均6n+3，两两和12n+6。

10
20
30n+10，+20类偶数用与30互素的互素数和的互素数对数等于4n,4n+4，平均4n+2，两两和8n+4。

四类偶数用与30互素的互素数和的互素数对数，分别为8n，3n或3n+1或3n+2或3n+3，6n或6n+2或6n+4或6n+6，4n或4n+4；
加数分别等于“两个与30互素的互素数之和模30余数表”中负对角线上边（表的左上部分）相应偶数的个数；
四类偶数用与30互素的互素数和的互素数对数，当n较大时若不计后面的加数分别为8n，3n，6n和4n。

yangchuanju · 发表于 2023-11-1 06:33

去掉互素数对中的含有数字1及合数的互素数对，就是重生888@的素数对数（还需除以2或加1后除以2折算成单计素数对，不含3 5素数对的哥猜数），
若要求算真实的哥猜素数对数需在上面的互素数对基础上去掉含1及合数的互素数对，加上“偶-3”、“偶-5”也是素数的素数对数。

yangchuanju · 发表于 2023-11-1 06:34

与210互素的整数包括210k+1、+11、+13、+17、+19、+23、……和210k+209四十八类，105类（8大类）偶数都能表示成与210互素数之和，分别有15,18,20,24,30,36,40,48种表示法。
两个与210互素的互素数之和模210余数表：
加 1 11 13 17 19 199 209
1 2 12 14 18 20 200 0
11 12 22 24 28 30 0 10
13 14 24 26 30 32 2 12
17 18 28 30 34 36 6 16
19 20 30 32 36 38 8 18
23 24 34 36 40 42 12 22
29 30 40 42 46 48 18 28
31 32 42 44 48 50 20 30
37 38 48 50 54 56 26 36
41 42 52 54 58 60 30 40
43 44 54 56 60 62 32 42
47 48 58 60 64 66 36 46
53 54 64 66 70 72 42 52
59 60 70 72 76 78 48 58
61 62 72 74 78 80 50 60
67 68 78 80 84 86 56 66
71 72 82 84 88 90 60 70
73 74 84 86 90 92 62 72
79 80 90 92 96 98 68 78
83 84 94 96 100 102 72 82
89 90 100 102 106 108 78 88
97 98 108 110 114 116 86 96
101 102 112 114 118 120 90 100
103 104 114 116 120 122 92 102
107 108 118 120 124 126 96 106
109 110 120 122 126 128 98 108
113 114 124 126 130 132 102 112
121 122 132 134 138 140 110 120
127 128 138 140 144 146 116 126
131 132 142 144 148 150 120 130
137 138 148 150 154 156 126 136
139 140 150 152 156 158 128 138
143 144 154 156 160 162 132 142
149 150 160 162 166 168 138 148
151 152 162 164 168 170 140 150
157 158 168 170 174 176 146 156
163 164 174 176 180 182 152 162
167 168 178 180 184 186 156 166
169 170 180 182 186 188 158 168
173 174 184 186 190 192 162 172
179 180 190 192 196 198 168 178
181 182 192 194 198 200 170 180
187 188 198 200 204 206 176 186
191 192 202 204 208 0 180 190
193 194 204 206 0 2 182 192
197 198 208 0 4 6 186 196
199 200 0 2 6 8 188 198
209 0 10 12 16 18 198 208

yangchuanju · 发表于 2023-11-1 06:36

余数表法数余数表法数余数表法数
0 48 70 24 140 24
2 15 72 30 142 15
4 15 74 15 144 30
6 30 76 15 146 15
8 15 78 30 148 15
10 20 80 20 150 40
12 30 82 15 152 15
14 18 84 36 154 18
16 15 86 15 156 30
18 30 88 15 158 15
20 20 90 40 160 20
22 15 92 15 162 30
24 30 94 15 164 15
26 15 96 30 166 15
28 18 98 18 168 36
30 40 100 20 170 20
32 15 102 30 172 15
34 15 104 15 174 30
36 30 106 15 176 15
38 15 108 30 178 15
40 20 110 20 180 40
42 36 112 18 182 18
44 15 114 30 184 15
46 15 116 15 186 30
48 30 118 15 188 15
50 20 120 40 190 20
52 15 122 15 192 30
54 30 124 15 194 15
56 18 126 36 196 18
58 15 128 15 198 30
60 40 130 20 200 20
62 15 132 30 202 15
64 15 134 15 204 30
66 30 136 15 206 15
68 15 138 30 208 15
最小 15 —— 15 —— 15
最大 48 —— 40 —— 40

表法数种数乘
15 48 720
18 8 144
20 12 240
24 2 48
30 24 720
36 4 144
40 6 240
48 1 48
合计 105 2304
—— =210/2 =48*48

yangchuanju · 发表于 2023-11-1 06:41

与2310互素的整数包括210k+1、+13、+17、+19、+23、……和2310k+2309共480类，1155类（16大类）偶数都能表示成与2310互素数之和，

余数表法数余数表法数余数表法数
0 480 960 360 1920 360
2 135 962 135 1922 135
4 135 964 135 1924 135
6 270 966 324 1926 270
8 135 968 150 1928 135
10 180 970 180 1930 180
12 270 972 270 1932 324
14 162 974 135 1934 135
16 135 976 135 1936 150
18 270 978 270 1938 270
20 180 980 216 1940 180
22 150 982 135 1942 135
24 270 984 270 1944 270
26 135 986 135 1946 162
28 162 988 135 1948 135
30 360 990 400 1950 360
32 135 992 135 1952 135
34 135 994 162 1954 135
36 270 996 270 1956 270
38 135 998 135 1958 150
40 180 1000 180 1960 216
42 324 1002 270 1962 270
44 150 1004 135 1964 135
46 135 1006 135 1966 135
48 270 1008 324 1968 270
50 180 1010 180 1970 180
52 135 1012 150 1972 135
54 270 1014 270 1974 324
56 162 1016 135 1976 135
58 135 1018 135 1978 135
60 360 1020 360 1980 400
62 135 1022 162 1982 135
64 135 1024 135 1984 135
66 300 1026 270 1986 270
68 135 1028 135 1988 162
70 216 1030 180 1990 180
72 270 1032 270 1992 270
74 135 1034 150 1994 135
76 135 1036 162 1996 135
78 270 1038 270 1998 270
80 180 1040 180 2000 180
82 135 1042 135 2002 180
84 324 1044 270 2004 270
86 135 1046 135 2006 135
88 150 1048 135 2008 135
90 360 1050 432 2010 360
92 135 1052 135 2012 135
94 135 1054 135 2014 135
96 270 1056 300 2016 324
98 162 1058 135 2018 135
100 180 1060 180 2020 180
102 270 1062 270 2022 270
104 135 1064 162 2024 150
106 135 1066 135 2026 135
108 270 1068 270 2028 270
110 200 1070 180 2030 216
112 162 1072 135 2032 135
114 270 1074 270 2034 270
116 135 1076 135 2036 135
118 135 1078 180 2038 135
120 360 1080 360 2040 360
122 135 1082 135 2042 135
124 135 1084 135 2044 162
126 324 1086 270 2046 300
128 135 1088 135 2048 135
130 180 1090 180 2050 180
132 300 1092 324 2052 270
134 135 1094 135 2054 135
136 135 1096 135 2056 135
138 270 1098 270 2058 324
140 216 1100 200 2060 180
142 135 1102 135 2062 135
144 270 1104 270 2064 270
146 135 1106 162 2066 135
148 135 1108 135 2068 150
150 360 1110 360 2070 360
152 135 1112 135 2072 162
154 180 1114 135 2074 135
156 270 1116 270 2076 270
158 135 1118 135 2078 135
160 180 1120 216 2080 180
162 270 1122 300 2082 270
164 135 1124 135 2084 135
166 135 1126 135 2086 162
168 324 1128 270 2088 270
170 180 1130 180 2090 200
172 135 1132 135 2092 135
174 270 1134 324 2094 270
176 150 1136 135 2096 135
178 135 1138 135 2098 135
180 360 1140 360 2100 432
182 162 1142 135 2102 135
184 135 1144 150 2104 135
186 270 1146 270 2106 270
188 135 1148 162 2108 135
190 180 1150 180 2110 180
192 270 1152 270 2112 300
194 135 1154 135 2114 162
196 162 1156 135 2116 135
198 300 1158 270 2118 270
200 180 1160 180 2120 180
202 135 1162 162 2122 135
204 270 1164 270 2124 270
206 135 1166 150 2126 135
208 135 1168 135 2128 162
210 432 1170 360 2130 360
212 135 1172 135 2132 135
214 135 1174 135 2134 150
216 270 1176 324 2136 270
218 135 1178 135 2138 135
220 200 1180 180 2140 180
222 270 1182 270 2142 324
224 162 1184 135 2144 135
226 135 1186 135 2146 135
228 270 1188 300 2148 270
230 180 1190 216 2150 180
232 135 1192 135 2152 135
234 270 1194 270 2154 270
236 135 1196 135 2156 180
238 162 1198 135 2158 135
240 360 1200 360 2160 360
242 150 1202 135 2162 135
244 135 1204 162 2164 135
246 270 1206 270 2166 270
248 135 1208 135 2168 135
250 180 1210 200 2170 216
252 324 1212 270 2172 270
254 135 1214 135 2174 135
256 135 1216 135 2176 135
258 270 1218 324 2178 300
260 180 1220 180 2180 180
262 135 1222 135 2182 135
264 300 1224 270 2184 324
266 162 1226 135 2186 135
268 135 1228 135 2188 135
270 360 1230 360 2190 360
272 135 1232 180 2192 135
274 135 1234 135 2194 135
276 270 1236 270 2196 270
278 135 1238 135 2198 162
280 216 1240 180 2200 200
282 270 1242 270 2202 270
284 135 1244 135 2204 135
286 150 1246 162 2206 135
288 270 1248 270 2208 270
290 180 1250 180 2210 180
292 135 1252 135 2212 162
294 324 1254 300 2214 270
296 135 1256 135 2216 135
298 135 1258 135 2218 135
300 360 1260 432 2220 360
302 135 1262 135 2222 150
304 135 1264 135 2224 135
306 270 1266 270 2226 324
308 180 1268 135 2228 135
310 180 1270 180 2230 180
312 270 1272 270 2232 270
314 135 1274 162 2234 135
316 135 1276 150 2236 135
318 270 1278 270 2238 270
320 180 1280 180 2240 216
322 162 1282 135 2242 135
324 270 1284 270 2244 300
326 135 1286 135 2246 135
328 135 1288 162 2248 135
330 400 1290 360 2250 360
332 135 1292 135 2252 135
334 135 1294 135 2254 162
336 324 1296 270 2256 270
338 135 1298 150 2258 135
340 180 1300 180 2260 180
342 270 1302 324 2262 270
344 135 1304 135 2264 135
346 135 1306 135 2266 150
348 270 1308 270 2268 324
350 216 1310 180 2270 180
352 150 1312 135 2272 135
354 270 1314 270 2274 270
356 135 1316 162 2276 135
358 135 1318 135 2278 135
360 360 1320 400 2280 360
362 135 1322 135 2282 162
364 162 1324 135 2284 135
366 270 1326 270 2286 270
368 135 1328 135 2288 150
370 180 1330 216 2290 180
372 270 1332 270 2292 270
374 150 1334 135 2294 135
376 135 1336 135 2296 162
378 324 1338 270 2298 270
380 180 1340 180 2300 180
382 135 1342 150 2302 135
384 270 1344 324 2304 270
386 135 1346 135 2306 135
388 135 1348 135 2308 135
390 360 1350 360 —— ——
482 135 1442 162 —— ——
484 150 1444 135 —— ——
832 135 1792 162 —— ——
834 270 1794 270 —— ——
836 150 1796 135 —— ——
956 135 1916 135 —— ——
958 135 1918 162 —— ——
最小 135 —— 135 —— 135
最大 480 —— 432 —— 432

yangchuanju · 发表于 2023-11-1 06:45

表法数种数乘
135 480 64800
150 48 7200
162 80 12960
180 128 23040
200 12 2400
216 20 4320
240 2 480
270 240 64800
300 24 7200
324 40 12960
360 64 23040
400 6 2400
432 10 4320
480 1 480
合计 14 230400
—— 1155 =480*480

180——128=8+120
360——64=4+60

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