试证 \(\small\arcsin \dfrac{\sqrt{5}-1}{4} = \dfrac{\pi}{10}=0.3141592653589..\)

elim

试证 \(\small\arcsin \dfrac{\sqrt{5}-1}{4} = \dfrac{\pi}{10}=0.314159265358979323846264338....\)

elim

【评注】若不用尺规作图而用三角学，证明会简单很多。

Ysu2008

网上有文章《sin36度cos36度的几种计算方法》，作者：杨川皇者
给了代数、几何各两种解法。

luyuanhong

楼上 elim 的帖子很好！已收藏。

波斯猫猫

题：试证arcsin[(√5-1)/4]=π/10.

令x=18°，有cos2x=sin3x, 即1-2(sinx )^2=3sinx-4(sinx)^3,  或(sinx-1)[4(sinx )^2+2sinx-1]=0.

解得 sinx=(√5-1)/4. 故sin(π/10)=(√5-1)/4，即arcsin[(√5-1)/4]=π/10.
   

ataorj

猫猫这思路真好，先把简单角度之间关系搞明白了就有了突破，我们一般都忽略了这点。(我原来想的是垂径定理以证明36°和54°垂径相等，是四元方程组，麻烦，没考虑两角的和是90°)
后面的因式分解的过程：
-4y^3+2y^2+3y-1=0
-4y^3+4y^2 - 2y^2+2y + y-1=0
(y-1)(-4y^2-2y+1)=0
解方程，舍掉不合要求的，有
sin18°=sin(π/10)=y=-(2- ✓(4+4*4*1))/(2*4)=(✓5-1)/4
对号老是变成编码。。。。

elim

从三角恒等式得到简洁的证明很好。这点主贴评注已经指出。
我很好奇从这里如何导出本题简捷的尺规作图方案。欢迎分享。

elim

ataorj

角平分: (x+2)/x=x/2,即
xx-2x-4=0,x=[2+√(4+16)]/2=1+√5
sin18°=1/x=1/(1+√5)=(√5-1)/4

ataorj

标签'x'和'1'互换会更简单:
角平分: (1+2x)/1=1/2x,得
sin18°=x/1=x=(√5-1)/4